Determine todas las funciones $f:(0,\infty)\to\mathbb{R}$ que satisfacen $$\left(x+\frac{1}{x}\right)f(y)=f(xy)+f\left(\frac{y}{x}\right)$$ para todo $x,y>0$ .

Sea $O$ el circuncentro, y sea $\Omega$ la circunferencia circunscrita de un triángulo acutángulo $ABC$ . Sea $P$ un punto arbitrario sobre $\Omega$ , distinto de $A$ , $B$ , $C$ y de sus antípodas en $\Omega$ . Denote los circuncentros de los triángulos $AOP$ , $BOP$ y $COP$ por $O_A$ , $O_B$ y $O_C$ , respectivamente. Las rectas $\ell_A$ , $\ell_B$ , $\ell_C$ perpendiculares a $BC$ , $CA$ y $AB$ pasan por $O_A$ , $O_B$ y $O_C$ , respectivamente. Demuestre que la circunferencia circunscrita del triángulo formado por $\ell_A$ , $\ell_B$ y $\ell_C$ es tangente a la recta $OP$ .

Sean $a_1,a_2,\ldots, a_m$ un conjunto de $m$ números pares positivos distintos y $b_1,b_2,\ldots,b_n$ un conjunto de $n$ números impares positivos distintos tales que \[a_1+a_2+\cdots+a_m+b_1+b_2+\cdots+b_n=2019\] Demuestre que \[5m+12n\le 581.\] ayan.nmath

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle A=\angle C=30^{\circ}.$ Los puntos $D,E,F$ se eligen sobre los lados $AB,BC,CA$ respectivamente de modo que $\angle BFD=\angle BFE=60^{\circ}.$ Sean $p$ y $p_1$ los perímetros de los triángulos $ABC$ y $DEF$ , respectivamente. Demuestre que $p\le 2p_1.$ ayan.nmath

Sea $n\ge 2$ un entero. Resuelva en los reales: \[|a_1-a_2|=2|a_2-a_3|=3|a_3-a_4|=\cdots=n|a_n-a_1|.\] ayan.nmath

Sean los puntos $O$ y $H$ el circuncentro y el ortocentro de un triángulo acutángulo $ABC.$ Sea $D$ el punto medio de $BC.$ Sea $E$ el punto sobre la bisectriz del ángulo $\angle BAC$ tal que $AE\perp HE.$ Sea $F$ el punto tal que $AEHF$ es un rectángulo. Demuestre que $D,E,F$ son colineales. ayan.nmath

Determine todos los enteros positivos $m$ que satisfacen la condición de que existe un único entero positivo $n$ tal que existe un rectángulo que puede descomponerse en $n$ cuadrados congruentes y también puede descomponerse en $m+n$ cuadrados congruentes. ayan.nmath

3 Hay $2019$ monedas sobre una mesa. Algunas están colocadas con la cara hacia arriba y otras con la cruz hacia arriba. Un grupo de $2019$ personas realiza las siguientes operaciones: la primera persona elige una moneda cualquiera y la voltea, la segunda persona elige dos monedas cualesquiera y las voltea, y así sucesivamente, y la persona $2019$ - ésima voltea todas las monedas. Demuestre que sin importar qué lados estén hacia arriba inicialmente, las $2019$ personas pueden idear un procedimiento para voltear las monedas tal que al final de las operaciones todas las monedas tengan el mismo lado hacia arriba.

1 Sea $n$ un entero positivo divisible por $4$ . Halle el número de permutaciones $\sigma$ de $(1,2,3,\cdots,n)$ que satisfacen la condición $\sigma(j)+\sigma^{-1}(j)=n+1$ para todo $j \in \{1,2,3,\cdots,n\}$ .

1 Sea $\Delta ABC$ un triángulo acutángulo. $D,E,F$ son los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita con $BC,CA,AB$ respectivamente. $AD,BE,CF$ intersecan a la circunferencia inscrita en $K,L,M$ respectivamente. Si, $$\sigma = \frac{AK}{KD} + \frac{BL}{LE} + \frac{CM}{MF}$$ $$\tau = \frac{AK}{KD}.\frac{BL}{LE}.\frac{CM}{MF}$$ Demuestre entonces que $\tau = \frac{R}{16r}$ . Demuestre también que existen enteros $u,v,w$ tales que, $uvw \neq 0$ , $u\sigma + v\tau +w=0$ .