G4 Sea $ABC$ un triángulo con alturas $BE$ y $CF$ que se cortan en $H$ . La reflexión de $A$ con respecto a $BC$ es $A'$ . La circunferencia $(ABC)$ corta a $(AA'E)$ en $P$ y a $(AA'F)$ en $Q$ . La recta $BC$ corta a $PQ$ en $R$ . Demuestre que $EF \parallel HR$ . Propuesto por Daniel Hu

G5 Dado un triángulo $ABC$ para el cual $\angle BAC \neq 90^{\circ}$ , sean $B_1, C_1$ puntos variables sobre $AB,AC$ , respectivamente. Sean $B_2,C_2$ los puntos sobre la recta $BC$ tales que una semejanza espiral centrada en $A$ envía $B_1C_1$ a $C_2B_2$ . Denote la circunferencia circunscrita de $AB_1C_1$ por $\omega$ . Demuestre que si $B_1B_2$ y $C_1C_2$ concurren sobre $\omega$ en un punto distinto de $B_1$ y $C_1$ , entonces $\omega$ pasa por un punto fijo distinto de $A$ . Propuesto por Max Jiang

G6 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo escaleno y sea $P$ un punto del plano. Para cualquier punto $Q\neq A,B,C$ , defina $T_A$ como el único punto tal que $\triangle T_ABP \sim \triangle T_AQC$ y $\triangle T_ABP, \triangle T_AQC$ están orientados en la misma dirección (horaria o antihoraria). Defina de manera análoga $T_B, T_C$ . a) Halle todos los $P$ tales que exista un punto $Q$ con $T_A,T_B,T_C$ todos sobre la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ . Llame a tal par $(P,Q)$ un par sabroso con respecto a $\triangle ABC$ . b) Conservando las notaciones de a), determine si existe un par sabroso que también sea sabroso con respecto a $\triangle T_AT_BT_C$ . Propuesto por Vincent Huang

N1 Sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes enteros tal que $P(0)=1$ , y sea $c > 1$ un entero. Defina $x_0=0$ y $x_{i+1} = P(x_i)$ para todo entero $i \ge 0$ . Demuestre que hay infinitos enteros positivos $n$ tales que $\gcd (x_n, n+c)=1$ . Propuesto por Milan Haiman y Carl Schildkraut

N2 Sea $f:\mathbb N\to \mathbb N$ . Demuestre que $f(m)+n\mid f(n)+m$ para todos los enteros positivos $m\le n$ si y solo si $f(m)+n\mid f(n)+m$ para todos los enteros positivos $m\ge n$ . Propuesto por Carl Schildkraut

N3 Sea $S$ un conjunto no vacío de enteros positivos tal que, para cualesquiera enteros $a$ y $b$ en $S$ (no necesariamente distintos), el número $ab+1$ también está en $S$ . Demuestre que el conjunto de primos que no dividen a ningún elemento de $S$ es finito. Propuesto por Carl Schildkraut

N4 Se dan un entero positivo $b$ y una sucesión $a_0,a_1,a_2,\dots$ de enteros $0\le a_i<b$ . Se sabe que $a_0\neq 0$ y que la sucesión $\{a_i\}$ es eventualmente periódica pero tiene infinitos términos no nulos. Sea $S$ el conjunto de enteros positivos $n$ tales que $n\mid (a_0a_1\dots a_n)_b$ . Dado que $S$ es infinito, demuestre que hay infinitos primos que dividen al menos a un elemento de $S$ . Propuesto por Carl Schildkraut y Holden Mui

N5 Dado un entero positivo par $m$ , halle todos los enteros positivos $n$ para los cuales existe una biyección $f:[n]\to [n]$ tal que, para todo $x,y\in [n]$ con $n\mid mx-y$ , $$(n+1)\mid f(x)^m-f(y).$$ Nota: Para un entero positivo $n$ , escribimos $[n] = \{1,2,\dots, n\}$ . Propuesto por Milan Haiman y Carl Schildkraut

1 Sea $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ una función biyectiva. ¿Existe siempre una cantidad infinita de funciones $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que $f(g(x))=g(f(x))$ para todo $x\in\mathbb{R}$ ? Propuesto por Daniel Liu

2 Sea $a_1,a_2,\dots,a_m$ una sucesión finita de enteros positivos. Demuestre que existen enteros no negativos $b,c,$ y $N$ tales que $$\left\lfloor \sum_{i=1}^m \sqrt{n+a_i} \right\rfloor =\left\lfloor \sqrt{bn+c} \right\rfloor$$ se cumple para todo entero $n>N.$ Propuesto por Carl Schildkraut