2 Llamamos a un triángulo que consiste en tres vértices de un pentágono grande si su área es mayor que la mitad del área del pentágono. Encuentre el número máximo de triángulos grandes que puede haber en un pentágono convexo. Propuesto por Gonchigdorj Radnaasumberel.

3 Sea $\mathbb{R}^+$ el conjunto de los números reales positivos. Determine todas las funciones $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ tales que para todos los números reales positivos $x$ e $y$ : \[f(x)f(y+f(x))=f(1+xy)\] Propuesto por Otgonbayar Uuye.

1 Encuentre todas las ternas $(a, b, c)$ de enteros positivos tales que $a \leq b$ y \[a!+b!=c^4+2024\] Propuesto por Otgonbayar Uuye.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo tal que $2BC = AB + AC,$ con incentro $I{}.$ Sea $AI{}$ que se encuentra con $BC{}$ en el punto $A'.{}$ La mediatriz de $AA'{}$ se encuentra con $BI{}$ y $CI{}$ en los puntos $B'{}$ y $C'{}$ respectivamente. Sea $AB'{}$ que interseca a $(ABC)$ en $X{}$ y sea $XI{}$ que interseca a $AC'{}$ en $X'{}.$ Demuestre que $2\angle XX'A'=\angle ABC.{}$ (Propuesto por Kang Taeyoung, Corea del Sur)

1 Sea $T(a)$ la suma de los dígitos de $a$ . ¿Para qué enteros positivos $R$ existe un entero positivo $n$ tal que $\frac{T(n^2)}{T(n)}=R$ ?

2 Existe un cuadrilátero $\mathcal{Q} _{1}$ tal que los puntos medios de sus lados se encuentran sobre una circunferencia. Demuestre que existe un cuadrilátero cíclico $\mathcal{Q} _{2}$ con los mismos lados que $\mathcal{Q} _{1}$ y dos de los mismos ángulos.

3 Encuentre todas las funciones $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ $f(f(x)f(y)+y)=f(x)y+f(y-x+1)$ Para todo $x,y \in \mathbb{R}$

4 Alice y Bob están jugando un juego. Primero, Alice elige una partición $\mathcal{C}$ de los enteros positivos en un conjunto (no necesariamente finito) de conjuntos, tal que cada entero positivo está exactamente en uno de los conjuntos de $\mathcal{C}$ . Luego Bob realiza la siguiente operación un número finito de veces. Elija un conjunto $S \in \mathcal{C}$ no elegido previamente, y sea $D$ el conjunto de todos los enteros positivos que dividen al menos un elemento de $S$ . Luego añada el conjunto $D \setminus S$ (posiblemente el conjunto vacío) a $\mathcal{C}$ . Bob gana si hay dos conjuntos iguales en $\mathcal{C}$ después de que ha realizado todos sus movimientos; de lo contrario, gana Alice. Determine qué jugador tiene una estrategia ganadora.

1 Sean $M, \alpha, \beta \in \mathbb{R} $ con $M > 0$ y $\alpha, \beta \in (0,1)$ . Si $R>1$ es un número real, decimos que una sucesión de números reales positivos $\{ C_n \}_{n\geq 0}$ es $R$ -inoceronte si $ \sum_{i=1}^n R^{n-i}C_i \leq R^n \cdot M$ para todo $n \geq 1$ . Determine el menor real $R>1$ para el cual existe una sucesión $R$ -inoceronte $ \{ C_n \}_{n\geq 0}$ tal que $\sum_{n=1}^{\infty} \beta ^n C_n^{\alpha}$ diverge.

7 Las aristas de un grafo completo sobre $1000$ vértices están coloreadas con tres colores. Demuestre que este grafo contiene un ciclo monocromático sin autointersecciones cuya longitud es impar y no menor que $41$ .