A4 Sea $x_0, x_1, x_2 \dots$ una sucesión de números reales positivos tal que para todo $n \geq 0$ , $$x_{n+1} = \dfrac{(n^2+1)x_n^2}{x_n^3+n^2}$$ ¿Para qué valores de $x_0$ está acotada esta sucesión?

B1 Halle el menor número real positivo $r$ con la siguiente propiedad: Para toda elección de $2023$ vectores unitarios $v_1,v_2, \dots ,v_{2023} \in \mathbb{R}^2$ , se puede encontrar un punto $p$ en el plano tal que, para cada subconjunto $S$ de $\{1,2, \dots , 2023\}$ , la suma $$\sum_{i \in S} v_i$$ se encuentre dentro del disco $\{x \in \mathbb{R}^2 : ||x-p|| \leq r\}$ .

B2 Hay $256$ jugadores en un torneo de tenis que están clasificados del $1$ al $256$ , correspondiendo $1$ al rango más alto y $256$ al rango más bajo. Cuando dos jugadores juegan un partido en el torneo, el jugador cuyo rango es más alto gana el partido con probabilidad $\frac{3}{5}$ . En cada ronda del torneo, el jugador con el rango más alto juega contra el jugador con el segundo rango más alto, el jugador con el tercer rango más alto juega contra el jugador con el cuarto rango más alto, y así sucesivamente. Al final de la ronda, los jugadores que ganan pasan a la siguiente ronda y los jugadores que pierden salen del torneo. Después de ocho rondas, queda un jugador y es declarado ganador. Determine el valor esperado del rango del ganador.

B3 Sea $n$ un entero positivo. Sean $A,B,$ y $C$ tres subespacios vectoriales de dimensión $n$ de $\mathbb{R}^{2n}$ con la propiedad de que $A \cap B = B \cap C = C \cap A = \{0\}$ . Demuestre que existen bases $\{a_1,a_2, \dots, a_n\}$ de $A$ , $\{b_1,b_2, \dots, b_n\}$ de $B$ , y $\{c_1,c_2, \dots, c_n\}$ de $C$ con la propiedad de que para cada $i \in \{1,2, \dots, n\}$ , los vectores $a_i,b_i,$ y $c_i$ son linealmente dependientes.

B4 (El siguiente problema está abierto en el sentido de que la respuesta a la parte (b) no se conoce actualmente.) Sea $n$ un entero positivo que no es un cuadrado perfecto. Halle todos los pares $(a,b)$ de enteros positivos para los cuales existe un número real positivo $r$ , tal que $$r^a+\sqrt{n} \ \ \text{and} \ \ r^b+\sqrt{n}$$ son ambos números racionales. Sea $n$ un entero positivo que no es un cuadrado perfecto. Halle todos los pares $(a,b)$ de enteros positivos para los cuales existe un número real $r$ , tal que $$r^a+\sqrt{n} \ \ \text{and} \ \ r^b+\sqrt{n}$$ son ambos números racionales.

1 Halle todos los pares de enteros positivos $(a, b)$ tales que $$11ab \le a^3 - b^3 \le 12ab.$$

2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo tal que $AH = HD$ , donde $H$ es el ortocentro de $ABC$ y $D \in BC$ es el pie de la altura desde el vértice $A$ . Sea $\ell$ la recta que pasa por $H$ y es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $BHC$ . Sean $S$ y $T$ los puntos de intersección de $\ell$ con $AB$ y $AC$ , respectivamente. Denótese por $M$ y $N$ los puntos medios de $BH$ y $CH$ , respectivamente. Demuestre que las rectas $SM$ y $TN$ son paralelas.

3 Halle todas las cuádruplas de enteros positivos $(p, q, a, b)$ , donde $p$ y $q$ son números primos y $a > 1$ , tales que $$p^a = 1 + 5q^b.$$

6 Un baile con 2018 parejas tiene lugar en La Habana. Para el baile, se marcan 2018 puntos distintos etiquetados $0, 1,\ldots, 2017$ en una circunferencia y cada pareja se coloca en un punto diferente. Para $i\geq1$ , sea $s_i=i\ (\textrm{mod}\ 2018)$ y $r_i=2i\ (\textrm{mod}\ 2018)$ . El baile comienza en el minuto $0$ . En el minuto $i$ - ésimo, la pareja en el punto $s_i$ (si la hay) se mueve al punto $r_i$ , la pareja en el punto $r_i$ (si la hay) se retira, y el baile continúa con las parejas restantes. El baile termina después de $2018^2$ minutos. Determine cuántas parejas permanecen al final. Nota: Si $r_i=s_i$ , la pareja en $s_i$ se queda allí y no se retira.

1 Para enteros positivos $n$ y $k \geq 2$, define $E_k(n)$ como el mayor exponente $r$ tal que $k^r$ divide a $n!$. Demuestra que hay infinitos $n$ tales que $E_{10}(n) > E_9(n)$ e infinitos $m$ tales que $E_{10}(m) < E_9(m)$.