76 Sean $A, B$ y $C$ tres puntos en el borde de un estanque circular tales que $B$ está directamente al oeste de $C$ y $ABC$ es un triángulo equilátero cuyo lado mide $86$ metros. Un niño nadó desde $A$ directamente hacia $B$. Después de recorrer una distancia de $x$ metros, giró y nadó hacia el oeste, alcanzando la orilla después de recorrer una distancia de $y$ metros. Si $x$ e $y$ son ambos enteros positivos, determine $y.$ Amir

77 Halle todos los enteros $x,y,z$ tales que \[x^3+y^3+z^3=x+y+z=8\] Amir

78 Si $T$ y $T_1$ son dos triángulos con ángulos $x, y, z$ y $x_1, y_1, z_1$, respectivamente, demuestre la desigualdad \[\frac{\cos x_1}{\sin x}+\frac{\cos y_1}{\sin y}+\frac{\cos z_1}{\sin z} \leq \cot x+\cot y+\cot z.\] Amir

79 Sean $AA_1,BB_1, CC_1$ las alturas de un triángulo acutángulo $ABC$; $K$ y $M$ son puntos de los segmentos $A_1C_1$ y $B_1C_1$, respectivamente. Demuestre que si los ángulos $MAK$ y $CAA_1$ son iguales, entonces el ángulo $C_1KM$ es bisecado por $AK.$ Amir

80 Sea $ABCD$ un tetraedro y $O$ su incentro, y sea la recta $OD$ perpendicular a $AD$. Halle el ángulo entre los planos $DOB$ y $DOC.$ Amir

8 En un torneo de ajedrez round robin (todos contra todos) cada jugador juega contra cada otro jugador exactamente una vez. El ganador de cada partida obtiene $ 1$ punto y el perdedor obtiene $ 0$ puntos. Si la partida termina en empate, cada jugador obtiene $ 0.5$ puntos. Dado un entero positivo $ m$, se dice que un torneo tiene la propiedad $ P(m)$ si se cumple lo siguiente: entre cada conjunto $ S$ de $ m$ jugadores, hay un jugador que le ganó todos sus partidos contra los otros $ m-1$ jugadores de $ S$ y un jugador que perdió todos sus partidos contra los otros $ m - 1$ jugadores de $ S$. Para un entero dado $ m \ge 4$, determine el valor mínimo de $ n$ (como función de $ m$) tal que se cumpla lo siguiente: en todo torneo de ajedrez round robin de $ n$ jugadores con la propiedad $ P(m)$, los puntajes finales de los $ n$ jugadores son todos distintos.

1 Sea $a>0$, la función $f: (0,+\infty) \to R$ satisface $f(a)=1$, si para cualesquiera números reales positivos $x$ y $y$, se tiene \[f(x)f(y)+f \left( \frac{a}{x}\right)f \left( \frac{a}{y}\right) =2f(xy)\] entonces demuestre que $f(x)$ es una constante.

2 Sea $O$ la intersección de las diagonales del cuadrilátero convexo $ABCD$. Las circunferencias circunscritas de $\triangle{OAD}$ y $\triangle{OBC}$ se cortan en $O$ y $M$. La recta $OM$ corta a las circunferencias circunscritas de $\triangle{OAB}$ y $\triangle{OCD}$ en $T$ y $S$ respectivamente. Demuestre que $M$ es el punto medio de $ST$.

3 Muestre que para cualquier $i=1,2,3$, existen infinitos enteros positivos $n$ tales que entre $n$, $n+2$ y $n+28$, hay exactamente $i$ términos que pueden ser expresados como la suma de los cubos de tres enteros positivos.

4 $8$ personas participan en una fiesta. (1) Entre cualesquiera $5$ personas hay $3$ que se conocen mutuamente por pares. Demuestre que hay $4$ personas que se conocen mutuamente por pares. (2) Si entre cualesquiera $6$ personas hay $3$ que se conocen mutuamente por pares, ¿podemos encontrar $4$ personas que se conozcan mutuamente por pares?