3 Sea $a$ un entero positivo que no es un cuadrado perfecto, y considere la ecuación \[k = \frac{x^2-a}{x^2-y^2}.\] Sea $A$ el conjunto de los enteros positivos $k$ para los cuales la ecuación admite una solución en $\mathbb Z^2$ con $x>\sqrt{a}$ , y sea $B$ el conjunto de los enteros positivos para los cuales la ecuación admite una solución en $\mathbb Z^2$ con $0\leq x<\sqrt{a}$ . Demuestre que $A=B$ .

4 Halle la menor constante $C > 0$ para la cual se cumple la siguiente afirmación: entre cualesquiera cinco números reales positivos $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ (no necesariamente distintos), siempre se pueden elegir subíndices distintos $i,j,k,l$ tales que \[ \left| \frac{a_i}{a_j} - \frac {a_k}{a_l} \right| \le C. \]

1 Llamamos ordenable a una $5$ - upla de enteros si sus elementos pueden ser etiquetados $a, b, c, d, e$ en algún orden de modo que $a-b+c-d+e=29$ . Determine todas las $2017$ - uplas de enteros $n_1, n_2, . . . , n_{2017}$ tales que si las colocamos en una circunferencia en el sentido de las agujas del reloj, entonces cualquier $5$ - upla de números en posiciones consecutivas de la circunferencia es ordenable. Warut Suksompong, Tailandia

2 Sea $ABC$ un triángulo con $AB < AC$ . Sea $D$ el punto de intersección de la bisectriz interna del ángulo $BAC$ con la circunferencia circunscrita de $ABC$ . Sea $Z$ el punto de intersección de la mediatriz de $AC$ con la bisectriz externa del ángulo $\angle{BAC}$ . Demuestre que el punto medio del segmento $AB$ se encuentra sobre la circunferencia circunscrita del triángulo $ADZ$ . Olimpiada de Matemáticas, Nicaragua

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle ABC = 45^o$. El punto $P$ está sobre el lado $BC$ tal que $PC=2$ unidades y $\angle BAP = 15^o$. Si el segmento de la tangente trazada desde el punto $B$ a la circunferencia circunscrita del triángulo $APC$ mide $\sqrt3$ unidades, encuentra la medida del $\angle ACP$.

3 Sea $A(n)$ el número de sucesiones $a_1\ge a_2\ge\cdots{}\ge a_k$ de enteros positivos para las cuales $a_1+\cdots{}+a_k = n$ y cada $a_i +1$ es una potencia de dos $(i = 1,2,\cdots{},k)$ . Sea $B(n)$ el número de sucesiones $b_1\ge b_2\ge \cdots{}\ge b_m$ de enteros positivos para las cuales $b_1+\cdots{}+b_m =n$ y se cumple cada desigualdad $b_j\ge 2b_{j+1}$ $(j=1,2,\cdots{}, m-1)$ . Demuestre que $A(n) = B(n)$ para todo entero positivo $n$ . Senior Problems Committee of the Australian Mathematical Olympiad Committee

4 Llamamos poderoso a un número racional $r$ si $r$ puede expresarse en la forma $\dfrac{p^k}{q}$ para algunos enteros positivos primos relativos $p, q$ y algún entero $k >1$ . Sean $a, b, c$ números racionales positivos tales que $abc = 1$ . Suponga que existen enteros positivos $x, y, z$ tales que $a^x + b^y + c^z$ es un entero. Demuestre que $a, b, c$ son todos poderosos . Jeck Lim, Singapur

5 Sea $n$ un entero positivo. Un par de $n$ - uplas $(a_1,\cdots{}, a_n)$ y $(b_1,\cdots{}, b_n)$ con entradas enteras se llama un par exquisito si $$|a_1b_1+\cdots{}+a_nb_n|\le 1.$$ Determine el número máximo de $n$ - uplas distintas con entradas enteras tales que cualesquiera dos de ellas formen un par exquisito. Pakawut Jiradilok y Warut Suksompong, Tailandia

3 Determine todas las ternas de enteros $(a,b,c)$ tales que: $$(a-b)^3(a+b)^2 = c^2 + 2(a-b) + 1$$

1 Considere fracciones $\frac{a}{b}$ donde $a$ y $b$ son enteros positivos. (a) Demuestre que para todo entero positivo $n$ , existe una fracción $\frac{a}{b}$ tal que $\sqrt{n} \le \frac{a}{b} \le \sqrt{n+1}$ y $b \le \sqrt{n}+1$ . (b) Demuestre que hay infinitos enteros positivos $n$ tales que ninguna fracción $\frac{a}{b}$ de este tipo satisface $\sqrt{n} \le \frac{a}{b} \le \sqrt{n+1}$ y $b \le \sqrt{n}$ .