2 Sean $m$ y $n$ enteros positivos y sea $S$ un subconjunto con $(2^m-1)n+1$ elementos del conjunto $\{1,2,3,\ldots, 2^mn\}$ . Demuestre que $S$ contiene $m+1$ números distintos $a_0,a_1,\ldots, a_m$ tales que $a_{k-1} \mid a_{k}$ para todo $k=1,2,\ldots, m$ . Valentin

3 Sean $x_1=1$ , $x_2$ , $x_3$ , $\ldots$ una sucesión de números reales tal que para todo $n\geq 1$ se tiene \[ x_{n+1} = x_n + \frac 1{2x_n} . \] Demuestre que \[ \lfloor 25 x_{625} \rfloor = 625 . \] Valentin

4 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB \neq AC$ . Sea $D$ el pie de la altura desde $A$ y $\omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo. Sea $\omega_1$ la circunferencia tangente a $AD$ , $BD$ y $\omega$ . Sea $\omega_2$ la circunferencia tangente a $AD$ , $CD$ y $\omega$ . Sea $\ell$ la tangente común interior a $\omega_1$ y $\omega_2$ , distinta de $AD$ . Demuestre que $\ell$ pasa por el punto medio de $BC$ si y solo si $2BC = AB + AC$ . Valentin

1 Resuelva la ecuación $3^x=2^xy+1$ en enteros positivos. Valentin

1 Demuestre que en cualquier polígono convexo con $4n+2$ lados ( $n\geq 1$ ) existen dos lados consecutivos que forman un triángulo de área a lo sumo $\frac 1{6n}$ del área del polígono. Valentin

3 Demuestre que si la distancia desde un punto interior de un poliedro convexo con $n$ caras a los vértices del poliedro es a lo sumo 1, entonces la suma de las distancias desde este punto a las caras del poliedro es menor que $n-2$ . Calin Popescu Valentin

2 Sobre las aristas de un poliedro convexo dibujamos flechas de modo que desde cada vértice al menos una flecha apunta hacia adentro y al menos una apunta hacia afuera. Demuestre que existe una cara del poliedro tal que las flechas sobre sus aristas forman un circuito. Dan Schwartz Valentin

2 Sea $ABC$ un triángulo, y sean $D$ , $E$ , $F$ tres puntos sobre los lados $BC$ , $CA$ y $AB$ respectivamente, tales que los inradios de los triángulos $AEF$ , $BDF$ y $CDE$ son iguales a la mitad del inradio del triángulo $ABC$ . Demuestre que $D$ , $E$ , $F$ son los puntos medios de los lados del triángulo $ABC$ . Valentin

1 Sea $a\in\mathbb{R}-\{0\}$ . Halle todas las funciones $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que $f(a+x) = f(x) - x$ para todo $x\in\mathbb{R}$ . Dan Schwartz Valentin

3 Sea $P$ un polígono (no necesariamente convexo) con $n$ vértices, tal que todos sus lados y diagonales tienen longitud menor o igual que 1. Demuestre que el área del polígono es menor que $\dfrac {\sqrt 3} 2$ . Valentin