4 Sean $a,b,c$ números reales tales que $a+b+c = 4$ y $a,b,c > 1$ . Demuestre que: \[\frac 1{a-1} + \frac 1{b-1} + \frac 1{c-1} \ge \frac 8{a+b} + \frac 8{b+c} + \frac 8{c+a}\]

5 De un triángulo equilátero de lado 2014 se recorta otro triángulo equilátero de lado 214, de modo que ambos triángulos tienen un vértice común y dos de los lados del triángulo más pequeño están sobre dos de los lados del triángulo más grande. ¿Es posible cubrir esta figura con las figuras de la imagen sin superponerlas (se permite la rotación) si todas las figuras están hechas de triángulos equiláteros de lado 1? ¡Explique la respuesta! [asy] import olympiad; unitsize(20); pair A,B,C,D,E,F,G,H; A=(0,0); B=(1,0); C=rotate(60)*B; D=rotate(60)*C; E=rotate(60)*D; F=rotate(60)*E; G=rotate(60)*F; draw(A--B); draw(A--C); draw(A--D); draw(A--E); draw(A--F); draw(A--G); draw(B--C--D--E--F--G--B); A=(2,0); B=A+(1,0); C=A+rotate(60)*(B-A); D=A+rotate(60)*(C-A); E=A+rotate(120)*(D-A); F=A+rotate(60)*(E-A); G=2*F-E; H=2*C-D; draw(A--D--C--A--B--C--H--B--G--F--E--A--F--B); A=(4,0); B=A+(1,0); C=A+rotate(-60)*(B-A); D=B+rotate(60)*(C-B); E=B+rotate(60)*(D-B); F=B+rotate(60)*(E-B); G=E+rotate(60)*(D-E); H=E+rotate(60)*(G-E); draw(A--B--C--A); draw(C--D--B); draw(D--E--B); draw(B--F--E); draw(E--G--D); draw(E--H--G); A=(8.5,0.5); B=A+(1,0); C=A+rotate(60)*(B-A); D=A+rotate(60)*(C-A); E=A+rotate(60)*(D-A); F=A+rotate(60)*(E-A); G=A+rotate(60)*(F-A); H=G+rotate(60)*(F-G); draw(A--B); draw(A--C); draw(A--D); draw(A--E); draw(A--F); draw(A--G); draw(B--C); draw(D--E--F--G--B); draw(G--H--F);[/asy]

1 Sean $ p,q,r $ números primos. Resuelva la ecuación $ p^{2q}+q^{2p}=r $

2 Se dan $ 2^n $ monedas a un grupo de niños. Se produce un intercambio de monedas cuando alguno de los niños tiene al menos la mitad de todas las monedas. Entonces, de las monedas de uno de esos niños se da a todos los demás niños tantas monedas como las que el niño ya tenía. En el caso en que todas las monedas están en un solo niño, no hay posibilidad de intercambio. ¿Cuál es el mayor número posible de intercambios consecutivos? ( $ n $ es un número natural)

3 Se da un triángulo acutángulo tal que $ BC $ es el lado más largo. Sean $ E $ y $ G $ los puntos de intersección de la altura desde $ A $ a $ BC $ con la circunferencia circunscrita del triángulo $ ABC $ y con $ BC $ , respectivamente. Suponga que el centro $ O $ de esta circunferencia está sobre la recta perpendicular desde $ A $ a $ BE $ . Sea $ EM $ perpendicular a $ AC $ y $ EF $ perpendicular a $ AB $ . Demuestre que el área de $ FBEG $ es mayor que el área de $ MFE $ .

4 Sean $ a,b,c $ números reales positivos tales que $ a^4+b^4+c^4=3 $ . Demuestre que \[ \frac{9}{a^2+b^4+c^6}+\frac{9}{a^4+b^6+c^2}+\frac{9}{a^6+b^2+c^4}\leq\ a^6+b^6+c^6+6 \]

5 Se da un triángulo arbitrario ABC. Hay 2 rectas, p y q, que no son paralelas entre sí y no son perpendiculares a los lados del triángulo. Las rectas perpendiculares trazadas por los puntos A, B y C a la recta p las denotamos con $ p_a, p_b, p_c $ y las rectas perpendiculares a la recta q las denotamos con $ q_a, q_b, q_c $ . Sean los puntos de intersección de las rectas $ p_a, q_a, p_b, q_b, p_c $ y $ q_c $ con $ q_b, p_b, q_c, p_c, q_a $ y $ p_a $ los puntos $ K, L, P, Q, N $ y $ M $ . Demuestre que $ KL, MN $ y $ PQ $ se intersecan en un solo punto.

1 Resuelva la ecuación $~$ $x^4+2y^4+4z^4+8t^4=16xyzt$ $~$ en el conjunto de los números enteros.

6 Encuentre todos los enteros $n \ge 4$ con la siguiente propiedad: Cada casilla de la tabla $n \times n$ se puede pintar de blanco o negro de tal manera que cada casilla de esta tabla tenga el mismo color que exactamente dos casillas adyacentes. (Las casillas son adyacentes si tienen exactamente un lado en común.) ¿Cuántas coloraciones diferentes de las casillas de la tabla $6 \times 6$ cumplen las condiciones anteriores?

2 Si $~$ $a,\, b,\, c,\, d$ $~$ son números reales positivos tales que $~$ $abcd=1$ $~$ , entonces demuestre que se cumple la siguiente desigualdad \[ \frac{1}{bc+cd+da-1} + \frac{1}{ab+cd+da-1} + \frac{1}{ab+bc+da-1} + \frac{1}{ab+bc+cd-1}\; \le\; 2\, . \] ¿Cuándo se cumple la igualdad?