2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $AB = AD$ y $CB = CD$ . La bisectriz del $\angle BDC$ interseca a $BC$ en $L$ , y $AL$ interseca a $BD$ en $M$ , y se sabe que $BL = BM$ . Determine el valor de $2\angle BAD + 3\angle BCD$ .

3 Los números $1, 2,\ldots, 2006$ se escriben alrededor de la circunferencia de un círculo. Un movimiento consiste en intercambiar dos números adyacentes. Después de una sucesión de tales movimientos, cada número termina $13$ posiciones a la derecha de su posición inicial. Si los números $1, 2,\ldots, 2006$ se particionan en $1003$ pares distintos, demuestre que en al menos uno de los movimientos se intercambiaron los dos números de uno de los pares.

1 El triángulo acutángulo $ABC$ con $AB\neq AC$ tiene circunferencia circunscrita $\Gamma$ , circuncentro $O$ y ortocentro $H$ . El punto medio de $BC$ es $M$ , y la prolongación de la mediana $AM$ interseca a $\Gamma$ en $N$ . El círculo de diámetro $AM$ interseca a $\Gamma$ nuevamente en $A$ y $P$ . Demuestre que las rectas $AP$ , $BC$ y $OH$ son concurrentes si y solo si $AH = HN$ .

2 Un número finito dado de rectas en el plano, de las cuales no hay dos paralelas ni tres concurrentes, dividen al plano en regiones finitas e infinitas. En cada región finita escribimos $1$ o $-1$ . En una operación, podemos elegir cualquier triángulo formado por tres de las rectas (que puede ser cortado por otras rectas de la colección) y multiplicar por $-1$ cada uno de los números del triángulo. Determine si siempre es posible obtener $1$ en todas las regiones finitas aplicando sucesivamente esta operación, independientemente de la distribución inicial de $1$ s y $-1$ s .

3 Una sucesión infinita $x_1,x_2,\ldots$ de enteros positivos satisface \[ x_{n+2}=\gcd(x_{n+1},x_n)+2006 \] para cada entero positivo $n$ . ¿Existe una sucesión así que contenga exactamente $10^{2006}$ números distintos?

4 $A$ es un número real positivo. $n$ es un número entero positivo. Encuentra el conjunto de valores posibles de la suma infinita $x_0^n+x_1^n+x_2^n+...$ donde $x_0,x_1,x_2...$ son todos números reales positivos de modo que la serie infinita $x_0+x_1+x_2+...$ tiene suma $A$.

1 Los números reales $a$ , $b$ , $c$ , $d$ satisfacen simultáneamente las ecuaciones \[abc -d = 1, \ \ \ bcd - a = 2, \ \ \ cda- b = 3, \ \ \ dab - c = -6.\] Demuestre que $a + b + c + d \not = 0$ .

2 Halle todos los enteros $n$ , $n \ge 1$ , tales que $n \cdot 2^{n+1}+1$ es un cuadrado perfecto.

3 Sean $AL$ y $BK$ bisectrices de ángulos en el triángulo no isósceles $ABC$ ( $L$ está sobre el lado $BC$ , $K$ está sobre el lado $AC$ ) . La mediatriz de $BK$ interseca la recta $AL$ en el punto $M$ . El punto $N$ está sobre la recta $BK$ tal que $LN$ es paralela a $MK$ . Demuestre que $LN = NA$ .

4 Un rectángulo $9\times 7$ se embaldosa con baldosas de dos tipos: baldosas en forma de L compuestas por tres cuadrados unitarios (pueden rotarse repetidamente en $90^\circ$ ) y baldosas cuadradas compuestas por cuatro cuadrados unitarios. Sea $n\ge 0$ el número de baldosas $2 \times 2 $ que pueden utilizarse en tal embaldosado. Halle todos los valores de $n$ .