. Los números $a, b, c$ del intervalo $(0,\pi/2)$ satisfacen las igualdades $\cos a=a, \sin\cos b=b, \cos\sin c=c$ . Ordene los números $a, b, c$ de menor a mayor. P2. Las diagonales de un cuadrilátero convexo $ABCD$ inscrito en una circunferencia con centro $O$ son perpendiculares. Demuestre que la línea quebrada $AOC$ divide al cuadrilátero en dos partes de igual área. P3. En un torneo de tenis participaron $n$ profesionales y $2n$ aficionados. Cada par de jugadores jugó exactamente un partido entre sí. Se sabe que la razón entre el número de victorias logradas por los profesionales y el número de victorias logradas por los aficionados es $7:5$ (en el tenis no hay empates). Halle $n$ . P4. Resuelva el sistema de ecuaciones $x_{i}+x_{i}x_{i+1}=1$ para $i=1, 2, \ldots, 9$ , y $x_{10}+x_{10}x_{1}=1$ . P5. ¿Es posible elegir diez números distintos $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{11}$ del conjunto $\{1,\, 2,\, \ldots,\, 11,\, 12\}$ tales que los diez números $|a_{1}-a_{2}|, |a_{2}-a_{3}|, \ldots, |a_{10}-a_{11}|, |a_{11}-a_{1}|$ sean todos distintos? P6. En cada lado de un paralelogramo de área $S$ se elige un punto. El área del cuadrilátero formado por estos cuatro puntos es igual a $S/2$ . Demuestre que al menos una diagonal de este cuadrilátero es paralela a uno de los lados del paralelogramo.

3 En un club deportivo, cada miembro practica natación o tenis. Se sabe que el promedio de edad de quienes practican natación es $15$ , y el promedio de edad de quienes practican tenis es $25$ . Un día, uno de los tenistas decidió cambiar y empezar a practicar natación. Tras este cambio, el promedio de edad de cada grupo aumentó en $1$ . Todas las edades son números naturales. ¿Cuántas personas había en el club? Halle todas las respuestas posibles y demuestre que no hay otras.

4 Hay $2019$ estudiantes en una universidad, cuatro de los cuales son estudiantes reprobados, aunque no se sabe quiénes son. Alibek se ha matriculado en la universidad y quiere encontrar un compañero de habitación que no sea reprobado. Pidió a cada estudiante que nombrara a tres estudiantes que, en su opinión, reprueban. Cada estudiante reprobado nombró a otros tres estudiantes reprobados, mientras que los estudiantes restantes podían nombrar a cualquiera. Demuestre que, usando esta información, Alibek puede identificar al menos a un estudiante que no sea reprobado y elegir a esa persona como compañero de habitación.

2 Resuelva la ecuación $5x^{2}+6y^{2}=6y-9$ .

3 Todos los números naturales se colorean con dos colores: blanco y negro . Se sabe que la suma de dos números blancos distintos cualesquiera también es blanca. Además, la suma de dos números negros cualesquiera también es negra. ¿Cuántos coloreados diferentes que satisfacen estas condiciones existen?

1 Un profesor escribe una sucesión de dígitos en el pizarrón según la siguiente regla: si los dos últimos dígitos escritos son $a$ y $b$ , entonces el siguiente dígito escrito es el último dígito del número $a \cdot b$ . Por ejemplo, si los dígitos iniciales son $1$ y $8$ , la sucesión continúa como $1, 8, 8, 4, 2, \ldots$ . Se sabe que inicialmente se escribieron en el pizarrón los dígitos $3$ y $4$ . ¿Qué dígito se escribirá en la posición $2019$ - ésima?

2 Sea $T_{n}$ la suma de los primeros $n$ números naturales, es decir, $T_{n}=1+2+\ldots+n$ . Para algunos números naturales $m$ y $n$ , suponga que $2T_{m}=T_{n}$ . Demuestre que el número $T_{2m-n}$ es un cuadrado perfecto.

4 Se marca un punto $T$ sobre el lado $BC$ del triángulo $ABC$ de modo que $AT$ sea la bisectriz del ángulo $\angle BAC$ . Se marca un punto $S$ sobre el rayo $AT$ tal que $AS = CT.$ Demuestre que $AS = CS$ si y solo si $AT = TB.$

1 Determine todas las ternas de números primos $(p,q,r)$ tales que $p^{p}+q^{q}=r$ .

5 Mahmut tiene $1000$ cubos unitarios blancos. Quiere ensamblarlos todos en algún paralelepípedo rectangular que sea completamente blanco por fuera. Su hermano menor Mustafa pintó accidentalmente de negro algunas caras de los cubos. ¿Cuál es el número mínimo de caras que Mustafa debe haber pintado de negro, dado que Mahmut ya no puede ensamblar el paralelepípedo deseado?