4 Demuestre que si los números reales $a, b, c$ satisfacen el sistema de ecuaciones $$a + b + c = 2 \,\,\, , \,\,\, ab + ac + bc = 1$$ entonces $$0 \le a \le \frac43 \,\,\, , \,\,\, 0 \le b \le \frac43 \,\,\, , \,\,\, 0\le c \le \frac43$$

5 Determine el mayor número posible de triángulos con lados de longitudes enteras y perímetro $1993$ , entre los cuales no haya dos triángulos mutuamente congruentes.

6A Un viaje circular en autobús y tren a través de $n$ ciudades es un recorrido que comienza en una de estas ciudades, visita cada una de ellas exactamente una vez, luego regresa al punto de partida, y no utiliza ningún otro medio de transporte aparte del autobús o el tren. Para $n$ ciudades $S_1, ..., S_n$ , se supone que entre cualesquiera dos de ellas hay exactamente una conexión (utilizable en ambos sentidos), y que esta conexión es siempre una conexión de autobús o de tren. Demuestre que para todo número natural $n \ge 3$ debe existir siempre un viaje circular en autobús y tren a través de $n$ ciudades que satisfacen estas condiciones, en el cual el medio de transporte se cambia a lo sumo una vez.

6B Sea $f$ una función que satisface las siguientes condiciones: $f$ está definida y es continua para todos los números reales $x$ , todos los valores de la función $f(x)$ son números reales, y para todo real $x$ , $$f(f(f(x))) = x.$$ Demuestre que estas condiciones solo las satisface la función $f$ definida para todo real $x$ por $f(x) = x$ .

1 Sean $$x = e^{0.000009} - e^{0.000007} + e^{0.000002} - e^{0.000001} ,\,\,\, y = e^{0.000008} - e^{0.000005}$$ Investigue si $x = y$ , $x > y$ o $x < y$ .

2 Sean $A_1$ , $A_2$ y $P$ tres puntos distintos sobre una circunferencia $k$ ; supóngase que el segmento $A_1A_2$ no es un diámetro de $k$ . Para $i = 1$ , $2$ , sea $k_i$ una circunferencia que es tangente a k exteriormente en $A_i$ , y sea $B_i$ el punto de intersección de la circunferencia $k_i$ con la recta que pasa por $P$ y $A_i$ , distinto de $A_i$ . Sea $M_i$ el centro de $k_i$ . Demuestre que bajo estas condiciones, las rectas $a$ , $b$ y $m$ definidas por $A_1$ , $A_2$ , por $B_1$ , $B_2$ y por $M_1$ , $M_2$ , respectivamente, o bien las tres tienen exactamente un punto en común, o bien las tres son paralelas entre sí.

3 Demuestre: Si $p$ es un número primo y dos enteros $n$ , $k$ con $0 \le k \le n$ se escriben en el sistema de numeración de base $p$ como $$n = a_t \cdot p^t + a_{t-1} \cdot p^{t-1} + ... + a_1p + a_0$$ $$k = b_t \cdot p^t + b_{t-1} \cdot p^{t-1} + ... + b_1p + b_0$$ ( $a_j, b_j$ son enteros con $0 \le aj < p$ , $0 \le bj < p$ para $j = 0, 1, ..., t$ ) , entonces el número ${n \choose k}$ , al ser dividido por $p$ , deja el mismo resto que $${a_t \choose b_t}\cdot {a_{t-1} \choose b_{t-1}}\cdot ... \cdot {a_1 \choose b_1} \cdot {a_0 \choose b_0}$$ Indicación: Para enteros $n$ y $k$ con $0 \le k \le n$ , definimos ${n \choose k}= \dfrac{n!}{k!\cdot (n-k)!}$ , donde para enteros $m$ con $m \ge 0$ , definimos $m! = 1 · 2 \cdot ... \cdot m$ [más completamente: $0! = 1$ y $m! = (m - 1)! \cdot m$ ( $m = 1, 2, 3, ...$ ) ].

6A Demuestre que en todo triángulo $ABC$ , para todo punto $P$ interior al triángulo, las longitudes $x = PA$ , $y = PB$ , $z = PC$ y las longitudes $u$ , $v$ , y $w$ de las perpendiculares trazadas desde $P$ a los lados $BC$ , $CA$ , y $AB$ , respectivamente, o a sus prolongaciones, satisfacen la desigualdad $$xyz \ge (v + w)(w + u)(u + v)$$

4 Sea $P_1P_2P_3$ un triángulo arbitrario; su área es $F$ , su circunferencia inscrita tiene centro $M$ y radio $r$ . a) Demuestre que una pirámide $P_1P_2P_3$ S tiene la menor área de superficie posible entre todas las pirámides $P_1P_2P_3S$ con esta base $P_1P_2P_3$ S y volumen dado $V$ si y solo si la perpendicular trazada desde $S$ al plano que pasa por $P_1$ , $P_2$ , $P_3$ tiene su pie en $M$ . b) Demuestre que esta menor área de superficie posible es $$F +\sqrt{F^2 + \left( \frac{3V}{r}\right)^2}$$

5 Sea $a$ cualquier número real con $a \ge 2$ . Halle todas las funciones f que satisfacen las siguientes condiciones (1), (2), (3): (1) La función $ f$ está definida para todos los enteros no negativos $x$ ; todos los valores de la función $f(x)$ son números reales. (2) Para todos los enteros no negativos $x, y$ con $x, y$ con $x \ge y$ , se cumple lo siguiente: $$f(x)\cdot f(y) = f(x + y) + f(x -y)$$ (3) $f(1) = a$ . Nota: f debe darse como una función elemental en una expresión de forma cerrada, es decir: La especificación formulaica de los valores de la función $f(x)$ debe lograrse aplicando operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación, división) a $x$ así como a constantes, funciones potencia, funciones exponenciales, funciones trigonométricas de $x$ o funciones inversas de tales funciones, en un número de pasos de aplicación independiente de $x$ .