Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Corta 1969 Problema 5
5 $(BEL 5)$ Sea $G$ el baricentro del triángulo $OAB.$ $(a)$ Demuestra que todas las cónicas que pasan por los puntos $O,A,B,G$ son hipérbolas. $(b)$ Encuentra el lugar geométrico de los centros de estas hipérbolas.
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Corta 1969 Problema 6
6 $(BEL 6)$ Evalúa $\left(\cos\frac{\pi}{4} + i \sin\frac{\pi}{4}\right)^{10}$ de dos maneras distintas y demuestra que $\dbinom{10}{1}-\dbinom{10}{3}+\frac{1}{2}\dbinom{10}{5}=2^4$
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Corta 1969 Problema 7
7 (BUL 1) Demuestra que la ecuación $\sqrt{x^3 + y^3 + z^3}=1969$ no tiene soluciones enteras.
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Corta 1969 Problema 8
8 Encuentra todas las funciones $f$ definidas para todo $x$ que satisfacen la condición $xf(y) + yf(x) = (x + y)f(x)f(y),$ para todo $x$ y $y.$ Demuestra que exactamente dos de ellas son continuas.
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Corta 1969 Problema 9
9 (BUL 3) Se colocan cien polígonos convexos sobre un cuadrado de lado \(38\) cm. El área de cada uno de los polígonos es menor que \(\pi\) cm\(^2\), y el perímetro de cada uno de los polígonos es menor que \(2\pi\) cm. Demuestra que existe un disco de radio \(1\) en el cuadrado que no interseca a ninguno de los polígonos.
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Corta 1969 Problema 10
10 $(BUL 4)$ Sea $M$ el punto interior del triángulo rectángulo $ABC (\angle C = 90^{\circ})$ tal que $\angle MAB = \angle MBC = \angle MCA =\phi.$ Sea $\Psi$ el ángulo agudo entre las medianas de $AC$ y $BC.$ Demuestra que $\frac{\sin(\phi+\Psi)}{\sin(\phi-\Psi)}= 5.$
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Corta 1969 Problema 11
11 $(BUL 5)$ Sea $Z$ un conjunto de puntos en el plano. Supón que existe un par de puntos que no pueden unirse mediante una línea poligonal que no pase por ningún punto de $Z.$ Llamemos a tal par de puntos no unibles. Demuestra que para cada real $r > 0$ existe un par de puntos no unibles separados por una distancia $r.$
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Corta 1969 Problema 12
12 $(CZS 1)$ Dado un cubo unitario, halla el lugar geométrico de los centroides de todos los tetraedros cuyos vértices se encuentran sobre las aristas del cubo.
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Corta 1969 Problema 14
14 $(CZS 3)$ Sean $a$ y $b$ dos números reales positivos. Si $x$ es una solución real de la ecuación $x^2 + px + q = 0$ con coeficientes reales $p$ y $q$ tales que $|p| \le a, |q| \le b,$ demuestra que $|x| \le \frac{1}{2}(a +\sqrt{a^2 + 4b})$. Recíprocamente, si $x$ satisface la desigualdad anterior, demuestra que existen números reales $p$ y $q$ con $|p|\le a, |q|\le b$ tales que $x$ es una de las raíces de la ecuación $x^2+px+ q = 0.$
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Corta 1969 Problema 15
15 $(CZS 4)$ Sean $K_1,\cdots , K_n$ enteros no negativos. Demuestra que $K_1!K_2!\cdots K_n! \ge \left[\frac{K}{n}\right]!^n$, donde $K = K_1 + \cdots + K_n$.
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