4 Halle todos los enteros positivos $n,k,a_1,a_2,...,a_k$ tales que $n^{k+1}+1$ es divisible por $(na_1+1)(na_2+1)...(na_k+1)$

Tienes un número entero de $4$ dígitos que es un cuadrado perfecto. Se construye otro número sumando $1$ al dígito de las unidades, restando $1$ al dígito de las decenas, sumando $1$ al dígito de las centenas y restando $1$ al dígito de las unidades de millar. Si el número que obtienes también es un cuadrado perfecto, encuentra el número original. ¿Es único?

2 En un tablero de $4\times 4$ se escriben los números del $1$ al $16$, uno en cada casilla. Andrés y Pablo eligen cuatro números cada uno. Andrés elige el mayor de cada fila y Pablo, el mayor de cada columna. El mismo número puede ser elegido por ambos. Luego se retiran del tablero todos los números elegidos. ¿Cuál es el mayor valor que puede tener la suma de los números que quedan en el tablero?

4 Halle todas las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que para cualesquiera números reales $x , y$ se cumple esta igualdad : $$f(yf(x)+f(x)f(y))=xf(y)+f(xy)$$ Propuesto por Navid Safaei Shayan-TayefehIR

. Halle todos los números primos $p$ tales que $2p+1$ y $4p+1$ también sean primos. P5. Cada diagonal de un pentágono convexo corta un triángulo de área $1$ . Halle el área del pentágono. P6. Para todos los números naturales $m, n>1$ , demuestre la desigualdad $\frac{1}{\sqrt[m]{1+n}}+\frac{1}{\sqrt[n]{1+m}}>1$ .

3 Para todo entero positivo $n$ , $s(n)$ denota la suma de los dígitos en la representación decimal de $n$ . Demuestre que para todo entero $n \ge 5$ , se tiene $$S(1)S(3)...S(2n-1) \ge S(2)S(4)...S(2n)$$

5 Suponga que tenemos dos números naturales $x , y \le 100!$ con valores indeterminados. Demuestre que existen números naturales $m , n$ tales que los valores de $x , y$ quedan determinados de manera única a partir del valor de $\varphi(d(my))+d(\varphi(nx))$ . (Para cada número natural $n$ , $d(n)$ es el número de sus divisores positivos y $\varphi(n)$ es el número de los números menores que $n$ que son coprimos con $n$ . ) Propuesto por Mehran Talaei Shayan-TayefehIR

1 Sean $a$, $b$, $c$ números reales positivos. Demuestra la desigualdad \[ \frac{1}{a\left(b+1\right)}+\frac{1}{b\left(c+1\right)}+\frac{1}{c\left(a+1\right)}\geq \frac{3}{1+abc}. \]

6 Sea $A_1A_2...A_{99}$ un $99-$ágono regular y sea el punto $A_{100}$ su centro. Halle el menor número natural posible $n$ tal que Parsa pueda colorear todos los segmentos $A_iA_j$ ( $1 \le i < j \le 100$ ) con uno de $n$ colores de modo que no haya dos segmentos del mismo color que se intersequen entre sí o compartan un vértice. Propuesto por Josef Tkadlec - República Checa Shayan-TayefehIR

7 Sean $\triangle ABC$ y $\triangle C'B'A$ dos triángulos congruentes (con este orden y orientación). Defínase el punto $M$ como el punto medio del segmento $AB$ y suponga que la prolongación de $CB'$ desde $B'$ pasa por $M$ ; si $F$ es un punto del arco menor $MC$ de la circunferencia circunscrita del triángulo $\triangle BMC$ tal que $\angle FB'A=90$ y $\angle C'CB' \neq 90$ , entonces demuestre que $\angle B'C'C=\angle CAF$ . Propuesto por Alireza Dadgarnia Shayan-TayefehIR