3 Sean $a, b, c$ enteros positivos tales que $abc = 1$. Demuestra que $ \sum \frac{1}{b(a+b)} \ge \frac{3}{2}$ .

Sea $a_1, a_2, \ldots, a_{2024}$ una permutación de $1, 2, \ldots, 2024$ . Halle el valor mínimo posible de \[\sum_{i=1} ^{2023} \Big[(a_i+a_{i+1})\Big(\frac{1}{a_i}+\frac{1}{a_{i+1}}\Big)+\frac{1}{a_ia_{i+1}}\Big]\] Propuesto por Md. Ashraful Islam Fahim

Un conjunto formado por $n$ puntos de un plano se denomina bosonti de $n$ puntos si cualesquiera tres de sus puntos son los vértices de un triángulo isósceles. Halle todos los enteros positivos $n$ para los cuales existe un bosonti de $n$ puntos.

Halle todos los pares de enteros positivos $(k, m)$ tales que para cualquier entero positivo $n$ , el producto \[(n+m)(n+2m)\cdots(n+km)\] es divisible por $k!$ .

Halle todos los números primos $p$ y $q$ tales que \[p^3-3^q=10.\] Propuesto por Md. Fuad Al Alam

Igual que Secundaria

Igual que Secundaria

Sea $I$ el incentro de $\triangle ABC$ y sea $P$ un punto tal que $PI$ es perpendicular a $BC$ y $PA$ es paralela a $BC$ . Sea la recta paralela a $BC$ que es tangente a la circunferencia inscrita de $\triangle ABC$ , e interseca a $AB$ y a $AC$ en los puntos $Q$ y $R$ respectivamente. Demuestre que $\angle BPQ = \angle CPR$ .

Halle todos los polinomios $P(x)$ para los cuales existe una sucesión $a_1, a_2, a_3, \ldots$ de números reales tal que \[a_m + a_n = P(mn)\] para cualesquiera enteros positivos $m$ y $n$ .

Halle todas las funciones $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ tales que \[f\left(\Big \lceil \frac{f(m)}{n} \Big \rceil\right)=\Big \lceil \frac{m}{f(n)} \Big \rceil\] para todo $m,n \in \mathbb{N}$ . Propuesto por Md. Ashraful Islam Fahim