4 Para el entero positivo $n$ , demuestre que al menos uno de los números $$A=2n-1 , B=5n-1, C=13n-1$$ no es un cuadrado perfecto

. ¿Cuántos ceros finales tiene el producto $1\cdot2\cdot3\cdot4\cdots99\cdot100$ ? P2. ¿De cuántas maneras se puede cambiar $2007$ tenge usando monedas de denominaciones $1$ y $5$ tenge? P3. Sea $ABCD$ un trapecio con base $AD$ . Denote por $M$ el punto de intersección de las bisectrices exteriores de los ángulos en los vértices $A$ y $B$ , y por $N$ el punto de intersección de las bisectrices exteriores de los ángulos en los vértices $C$ y $D$ . Demuestre que la longitud del segmento $MN$ es igual a la mitad del perímetro del trapecio. P4. Sean $a, b, c$ números reales no negativos. Demuestre que $ab+bc+ca\geqslant\sqrt{3abc(a+b+c)}$ . P5. Halle los ángulos de un triángulo acutángulo $ABC$ si su bisectriz $AD$ tiene la misma longitud que el lado $AC$ y es perpendicular al segmento $OH$ , donde $O$ es el circuncentro del triángulo $ABC$ y $H$ es el punto de intersección de sus alturas. P6. Los números naturales del $1$ al $127$ se reparten en varios (más de uno) grupos con sumas iguales. Demuestre que el número de tales grupos es par.

Sean $a,b$ números reales positivos. Demuestre que \[ \frac{a^2}{4b} + \frac{b^2}{4a} \ge \frac{a^2 + b^2}{(a+1)(b+1)}. \]

Sean $x$ e $y$ números reales positivos tales que $x^2+y^2+1=3xy$ . Demuestre que $$x+y\ge2$$

1 Factorice $$(a+2b-3c)^3+(b+2c-3a)^3+(c+2a-3b)^3$$

4 $\boxed{\text{N4}}$ Halle todos los primos $p,q$ tales que $2p^3-q^2=2(p+q)^2$ .

3 El cuadrilátero $ABCD$ es cíclico. La recta que pasa por el punto $D$ paralela a la recta $BC$ interseca a $CA$ en el punto $P$ , a la recta $AB$ en el punto $Q$ y a la circunferencia circunscrita de $ABCD$ en el punto $R$ . La recta que pasa por el punto $D$ paralela a la recta $AB$ interseca a $AC$ en el punto $S$ , a la recta $BC$ en el punto $T$ y a la circunferencia circunscrita de $ABCD$ en el punto $U$ . Si $PQ=QR$ , demuestre que $ST=TU$

2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$ y $AB<AC$ . El punto $T$ está sobre la recta $BC$ de modo que $AT$ es tangente a la circunferencia circunscrita de $ABC$ . Sean las rectas $AH$ y $BC$ que se cortan en el punto $D$ , y sea $M$ el punto medio de $HC$ . Sea la circunferencia circunscrita de $AHT$ que corta a $CH$ en $P \not=H$ , y la circunferencia circunscrita de $PDM$ que corta a $BC$ en $Q \not=D$ . Demuestre que $QT=QA$ .

Sean $m$ y $n$ enteros positivos mayores que $1$ . En cada cuadrado unitario de una cuadrícula de $m\times n$ hay una moneda con su lado cruz hacia arriba. Un movimiento consiste en los siguientes pasos: seleccione un cuadrado de $2\times 2$ en la cuadrícula; voltee las monedas en los cuadrados unitarios superior izquierdo e inferior derecho; voltee la moneda en el cuadrado superior derecho o en el inferior izquierdo. Determine todos los pares $(m,n)$ para los cuales es posible que toda moneda muestre el lado cara hacia arriba después de un número finito de movimientos. Thanasin Nampaisarn, Tailandia

3 Llamamos leal a un subconjunto $B$ de números naturales si existen números naturales $i\le j$ tales que $B=\{i,i+1,\ldots,j\}$ . Sea $Q$ el conjunto de todos los conjuntos leales. Para todo subconjunto $A=\{a_1<a_2<\ldots<a_k\}$ de $\{1,2,\ldots,n\}$ definimos \[f(A)=\max_{1\le i \le k-1}{a_{i+1}-a_i}\qquad\text{and}\qquad g(A)=\max_{B\subseteq A, B\in Q} |B|.\] Además, definimos \[F(n)=\sum_{A\subseteq \{1,2,\ldots,n\}} f(A)\qquad\text{and}\qquad G(n)=\sum_{A\subseteq \{1,2,\ldots,n\}} g(A).\] Demuestre que existe $m\in \mathbb N$ tal que para cada número natural $n>m$ tenemos $F(n)>G(n)$ . (Por $|A|$ queremos decir el número de elementos de $A$ , y si $|A|\le 1$ , definimos $f(A)$ como cero). Propuesto por Javad Abedi