4 Consideramos la sucesión $\{u_n\}$ definida por recursión mediante $u_{n+1} =\frac{u_n(u_n + 1)}{n}$ para $n \ge 1$ . (a) Determine los términos de la sucesión para $u_1 = 1$ . (b) Demuestre que si un término de la sucesión es racional, entonces todos los términos posteriores también son números racionales. (c) Demuestre que para todo número natural $K$ existe un $u_1 > 1$ tal que los primeros $K$ términos de la sucesión son números naturales.

1 Sean $x,y,z$ números reales positivos tales que $x+y+z=1$ . Demuestre que siempre $\left( 1+\frac1x\right)\times\left(1+\frac1y\right)\times\left(1 +\frac1z\right)\ge 64$ . ¿Cuándo se cumple la igualdad? Binomial-theorem

5 Dada una pirámide cuya base es un $n$ - gono inscribible en un círculo, sea $H$ la proyección del vértice superior de la pirámide sobre su base. Demuestre que las proyecciones de $H$ sobre las aristas laterales de la pirámide se encuentran sobre un círculo.

81 Una función $ f$ de valores reales sobre $ \mathbb{Q}$ satisface las siguientes condiciones para $ \alpha, \beta \in \mathbb{Q}:$ arbitrarios: (i) $ f(0) = 0,$ (ii) $ f(\alpha) > 0 \text{ if } \alpha \neq 0,$ (iii) $ f(\alpha \cdot \beta) = f(\alpha)f(\beta),$ (iv) $ f(\alpha + \beta) \leq f(\alpha) + f(\beta),$ (v) $ f(m) \leq 1989$ $ \forall m \in \mathbb{Z}.$ Demuestre que \[ f(\alpha + \beta) = \max\{f(\alpha), f(\beta)\} \text{ if } f(\alpha) \neq f(\beta).\]

87 Considere en un plano $ P$ los puntos $ O,A_1,A_2,A_3,A_4$ tales que \[ \sigma(OA_iA_j) \geq 1 \quad \forall i, j = 1, 2, 3, 4, i \neq j.\] donde $ \sigma(OA_iA_j)$ es el área del triángulo $ OA_iA_j.$ Demuestre que existe al menos un par $ i_0, j_0 \in \{1, 2, 3, 4\}$ tal que \[ \sigma(OA_iA_j) \geq \sqrt{2}.\]

10 $(BUL 4)$ Sea $M$ el punto interior del triángulo rectángulo $ABC (\angle C = 90^{\circ})$ tal que $\angle MAB = \angle MBC = \angle MCA =\phi.$ Sea $\Psi$ el ángulo agudo entre las medianas de $AC$ y $BC.$ Demuestra que $\frac{\sin(\phi+\Psi)}{\sin(\phi-\Psi)}= 5.$

3 Sea $ABC$ un triángulo de área $S$ , y sea $P$ un punto en el plano. Demuestre que $AP+BP+CP\geq 2\sqrt[4]{3}\sqrt{S}$ . darij

4 En un planeta $Papella$ el año tiene $400$ días, contando los días desde $1-400$ . Un día festivo sería aquel día que es divisible por $6$ . El nuevo gobierno decide reformar el calendario y dividirlo en $10$ meses con $40$ días cada mes, y deciden que el día del mes que sea divisible por $6$ sea festivo. Demuestre que después de la reforma el número de días festivos después de un año disminuyó menos del $ 10 $ por ciento.

9 En el conjunto de $20$ elementos $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, A, B, C, D, J, K, L, U, X, Y , Z\}$ hemos hecho una secuencia aleatoria de $28$ tiradas. ¿Cuál es la probabilidad de que la secuencia $CUBA \ JULY \ 1987$ aparezca en ese orden en la secuencia ya tirada? Amir

47 Se da una sucesión de números reales $x_1,x_2,\ldots ,x_n$ tal que $x_{i+1}=x_i+\frac{1}{30000}\sqrt{1-x_i^2},\ i=1,2,\ldots ,$ y $x_1=0$ . ¿Puede $n$ ser igual a $50000$ si $x_n<1$ ?