6 Para números reales no negativos $a,b,c,x,y,z$ , si $a+b+c=x+y+z=1$ , halle el valor máximo de $(a-x^2)(b-y^2)(c-z^2)$ .

7 Hay $n$ ciudades en el País de Qingqiu. Las distancias entre cualesquiera dos ciudades son diferentes. El rey del país planea numerar las ciudades y establecer líneas aéreas de doble sentido de la siguiente manera: La primera vez, establecer una línea aérea de doble sentido entre la ciudad 1 y la ciudad más cercana a ella. La segunda vez, establecer una línea aérea de doble sentido entre la ciudad 2 y la segunda ciudad más cercana a ella. ... La $n-1$ -ésima vez, establecer una línea aérea de doble sentido entre la ciudad $n-1$ y la ciudad más lejana a ella. Demuestre: El rey puede numerar las ciudades de manera adecuada para poder ir en avión desde cualquier ciudad a cualquier otra.

8 Para un entero positivo $n$ , defina $f(n)$ : el menor entero positivo que no divide a $n$ . Considere la sucesión $(a_n): a_1=a_2=1, a_n=a_{f(n)}+1(n\geq3)$ . Por ejemplo, $a_3=a_2+1=2,a_4=a_3+1=3$ . (a) Demuestre que existe un entero positivo $C$ tal que, para cualquier entero positivo $n$ , $a_n\leq C$ . (b) ¿Existen enteros positivos $M$ y $T$ que satisfacen que para cualquier entero positivo $n\geq M$ , $a_n=a_{n+T}$ ?

1 En el triángulo $ABC$ , sean el circuncentro, el incentro y el ortocentro $O$ , $I$ y $H$ respectivamente. Los segmentos $AO$ , $AI$ y $AH$ intersecan la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en $D$ , $E$ y $F$ . $CD$ interseca a $AE$ en $M$ y $CE$ interseca a $AF$ en $N$ . Demuestre que $MN$ es paralelo a $BC$ .

2 Sean $a$ , $b$ , $c$ reales no negativos tales que $$a^2+b^2+c^2+ab+\frac{2}{3}ac+\frac{4}{3}bc=1$$ Halle los valores máximo y mínimo de $a+b+c$ .

6 Carlos tiene dos dados de seis caras. Uno de los dados es justo, y el otro está sesgado de modo que sale seis con probabilidad $\tfrac23,$ y cada una de las otras cinco caras tiene probabilidad $\tfrac{1}{15}.$ Carlos elige uno de los dos dados al azar y lo lanza tres veces. Dado que los primeros dos lanzamientos son ambos seis, la probabilidad de que el tercer lanzamiento también sea seis es $\tfrac{p}{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos relativamente primos. Encuentra $p+q$ .

6 Sea $H$ el ortocentro del triángulo $ABC$ . Sean $D$ y $E$ puntos sobre $AB$ y $AC$ tales que $DE$ es paralelo a $CH$ . Si la circunferencia circunscrita del triángulo $BDH$ pasa por $M$ , el punto medio de $DE$ , entonces demuestre que $\angle ABM=\angle ACM$

El siguiente diagrama muestra un arreglo rectangular de $4\times4$ puntos, cada uno de los cuales está a $1$ unidad de distancia de sus vecinos más cercanos. [asy]unitsize(0.25inch); defaultpen(linewidth(0.7)); int i, j; for(i = 0; i < 4; ++i) for(j = 0; j < 4; ++j) dot(((real)i, (real)j));[/asy] Define un camino creciente como una secuencia de puntos distintos del arreglo con la propiedad de que la distancia entre puntos consecutivos de la secuencia es estrictamente creciente. Sea $ m$ el máximo número posible de puntos en un camino creciente, y sea $ r$ el número de caminos crecientes que consisten exactamente de $ m$ puntos. Encuentra $ mr$ .

A1 Halle todas las funciones $f:\mathbb Z\rightarrow \mathbb Z$ tales que, para todos los enteros $a,b,c$ que satisfacen $a+b+c=0$ , se cumple la siguiente igualdad: \[f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a).\] (Aquí $\mathbb{Z}$ denota el conjunto de los enteros.) Propuesto por Liam Baker, Sudáfrica

2 Sea $n$ un entero mayor que 2. Se dice que un entero positivo es alcanzable si es 1 o puede obtenerse a partir de 1 mediante una sucesión de operaciones con las siguientes propiedades: 1.) La primera operación es una suma o una multiplicación. 2.) A partir de entonces, las sumas y las multiplicaciones se usan alternadamente. 3.) En cada suma, se puede elegir independientemente sumar 2 o $n$ . 4.) En cada multiplicación, se puede elegir independientemente multiplicar por 2 o por $n$ . Se dice que un entero positivo que no puede obtenerse de esta manera es inalcanzable. a.) Demuestre que si $n\geq 9$ , hay infinitos enteros positivos inalcanzables. b.) Demuestre que si $n=3$ , todos los enteros positivos excepto 7 son alcanzables.