Siete Veinticinco de los caballeros del Rey Arturo están sentados en su acostumbrada mesa redonda. Tres de ellos son elegidos — todas las elecciones de tres son igualmente probables — y son enviados a matar a un molesto dragón. Sea $P$ la probabilidad de que al menos dos de los tres hubieran estado sentados uno junto al otro. Si $P$ se escribe como una fracción en sus términos más bajos, ¿cuál es la suma del numerador y el denominador?

$G<S_n$$\{1,...,n\}$$e\neq g\in G$$k\in \{1,...,n\}$$g.k=k$$k\in \{1,...,n\}$$g\in G$$g.k=k$

$G$$|G|=p^em$$p$$(p,m)=1$$a$$p$$G$$H<G$$|H|=p^e$$a|m$$p|a-1$$p$

9 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncentro $O$. Sea $D$ el pie de la perpendicular desde $A$ al lado $BC$. Se da que $\angle AOD=90^\circ$ y $OD=4\sqrt{7}$. Sean $E$ y $F$ los pies de las perpendiculares desde $D$ a los lados $AB$ y $AC$, respectivamente. Sea $AO$ que intersecta a $EF$ en un punto $P$. Dado que $AP=11$, encuentra la longitud del segmento $EF$.

1 Sea $k>1$ un entero positivo dado. Un conjunto $S$ de enteros positivos se llama bueno si podemos colorear el conjunto de los enteros positivos con $k$ colores de modo que ningún entero de $S$ pueda representarse como suma de dos enteros positivos del mismo color. Halle el mayor $t$ tal que el conjunto $S=\{a+1,a+2,\ldots ,a+t\}$ sea bueno para todos los enteros positivos $a$ . A. Ivanov, E. Kolev

Suponga que hay varias cajas de jugo, una de las cuales está envenenada. Usted tiene $n$ cobayos para probar las cajas. La prueba ocurre de la siguiente manera: en cada ronda, puede hacer que los cobayos prueben cualquier cantidad de cajas de jugo. Recíprocamente, una caja de jugo puede ser probada por cualquier cantidad de cobayos. Después de que termina la ronda, cualquier cobayo que haya probado el jugo envenenado muere. Suponga que debe encontrar la caja de jugo envenenada en a lo sumo $k$ rondas. ¿Cuál es el número máximo de cajas de jugo para el cual esto es posible?

19 $(FRA 2)$ Sea $n$ un entero que no es divisible por ningún cuadrado mayor que $1.$ Denotemos por $x_m$ la última cifra del número $x^m$ en el sistema de numeración de base $n.$ ¿Para qué enteros $x$ es posible que $x_m$ sea $0$? Demuestra que la sucesión $x_m$ es periódica con período $t$ independiente de $x.$ ¿Para qué $x$ tenemos $x_t = 1$? Demuestra que si $m$ y $x$ son primos relativos, entonces $0_m, 1_m, \ldots, (n-1)_m$ son números distintos. Encuentra el período mínimo $t$ en términos de $n$. Si $n$ no cumple la condición dada, demuestra que es posible tener $x_m = 0 \neq x_1$ y que la sucesión es periódica solo a partir de algún número $k > 1.$

26 (GBR 3) Un sólido liso consiste en un cilindro circular recto de altura $h$ y radio de la base $r$, coronado por un hemisferio de radio $r$ y centro $O$. El sólido se apoya sobre una mesa horizontal. Un extremo de una cuerda se fija a un punto de la base. La cuerda se estira (inicialmente mantenida en el plano vertical) sobre el punto más alto del sólido y se sujeta en el punto $P$ del hemisferio tal que $OP$ forma un ángulo $\alpha$ con la horizontal. Demuestra que si $\alpha$ es suficientemente pequeño, la cuerda se aflojará si se desplaza ligeramente y ya no permanecerá en un plano vertical. Si luego se tensa a través de $P$, demuestra que cruzará la sección circular común del hemisferio y el cilindro en un punto $Q$ tal que $\angle SOQ = \phi$, donde $S$ es el punto donde inicialmente cruzaba esta sección, y $\sin \phi = \frac{r \tan \alpha}{h}$.

27 $(GBR 4)$ El segmento $AB$ biseca perpendicularmente a $CD$ en $X$. Demuestra que, sujeto a restricciones, existe un cono circular recto cuyo eje pasa por $X$ y en cuya superficie se encuentran los puntos $A,B,C,D.$ ¿Cuáles son las restricciones?

28 $(GBR 5)$ Definamos $u_0 = 0, u_1 = 1$ y para $n\ge 0, u_{n+2} = au_{n+1}+bu_n$, donde $a$ y $b$ son enteros positivos. Expresa $u_n$ como un polinomio en $a$ y $b$. Demuestra el resultado. Dado que $b$ es primo, demuestra que $b$ divide a $a(u_b -1)$.