1 Con las condiciones $a,b,c\in\mathbb{R^+}$ y $a+b+c=1$ , demuestre que \[\frac{7+2b}{1+a}+\frac{7+2c}{1+b}+\frac{7+2a}{1+c}\geq\frac{69}{4}\]

3 El triángulo acutángulo $\triangle{ABC}$ con la condición $AB<AC<BC$ tiene circunferencia circunscrita $C^,$ con centro $O$ y radio $R$ . Y se trazan los diámetros $BD$ y $CE$ . El círculo con centro $O$ y radio $R$ corta a $AC$ en $K$ . Y el círculo con centro $A$ y radio $AD$ corta a $BA$ en $L$ . Demuestre que las rectas $EK$ y $DL$ se cortan en el círculo $C^,$ .

3 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB<AC$ y sean $D,E,F$ los puntos de contacto de la circunferencia inscrita $(I)$ con $BC,AC,AB$ . Sean $M,N$ puntos de $EF$ tales que $MB \perp BC$ y $NC \perp BC$ . $MD$ y $ND$ cortan a $(I)$ en $D$ y $Q$ . Demuestre que $DP=DQ$ .

1 Sean $a,b,c \ge 0$ y $a+b+c=3$ . Demuestre que: $2(ab+bc+ca)-3abc\ge \sum_{cyc}^{}a\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}}$

3 Halle todos los números primos $(p,q)$ tales que : $p^{3}+p=q^{2}+q$ Y_ou-ne_S

4 El líder del país de los Gnomos quiere imprimir billetes de $12$ denominaciones diferentes (cada una con un número entero) de modo que sea posible pagar cualquier cantidad de $1$ a $6543$ con estos billetes sin vuelto, usando un máximo de $8$ billetes. (Durante el pago se pueden usar varios billetes de la misma denominación). ¿Puede el líder de la tierra de los Gnomos lograrlo?

2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero circunscrito a un círculo. Sea $M$ un punto sobre el lado $AB$ . Sean $I_{1}$ , $I_{2}$ y $I_{3}$ los incentros de los triángulos $AMD$ , $CMD$ y $BMC$ respectivamente. Demuestre que $I_{1}I_{2}I_{3}M$ es circunscriptible.

2 Las bisectrices de los ángulos $\angle BAC,$ $\angle CBA,$ y $\angle ACB$ cortan a la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ en los puntos $M,N,$ y $K,$ respectivamente. Los segmentos $AB$ y $MK$ se cortan en el punto $P$ y los segmentos $AC$ y $MN$ se cortan en el punto $Q.$ Demuestre que $PQ\parallel BC$

1 Determine todos los conjuntos finitos y no vacíos $\mathcal{S}$ de enteros positivos tales que para todo $a,b\in\mathcal{S}$ existe $c\in\mathcal{S}$ con $a\mid b+2c$ .

2 Sea $ABCDE$ un pentágono convexo y sea $M$ el punto medio de $AB$ . Suponga que el segmento $AB$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $CME$ en $M$ y que $D$ está sobre las circunferencias circunscritas de $AME$ y $BMC$ . Las rectas $AD$ y $ME$ se cortan en $K$ , y las rectas $BD$ y $MC$ se cortan en $L$ . Los puntos $P$ y $Q$ están sobre la recta $EC$ de modo que $\angle PDC = \angle EDQ = \angle ADB$ . Demuestre que las rectas $KP, LQ,$ y $MD$ son concurrentes.