3 Sea $ABC$ un triángulo tal que $AB<AC$ . La mediatriz del lado $BC$ corta al lado $AC$ en el punto $D$ , y la bisectriz (interior) del ángulo $ADB$ corta a la circunferencia circunscrita $ABC$ en el punto $E$ . Demuestre que la bisectriz (interior) del ángulo $AEB$ y la recta que pasa por los incentros de los triángulos $ADE$ y $BDE$ son perpendiculares.

4 Dado un entero $n\ge 2$ , calcule $\sum_{\sigma} \textrm{sgn}(\sigma) n^{\ell(\sigma)}$ , donde se consideran todas las permutaciones de $n$ elementos, y donde $\ell(\sigma)$ es el número de ciclos disjuntos en la descomposición estándar de $\sigma$ .

1 Suponga que un cuadrado de lado $l$ está dentro de un cuadrado unitario y no contiene su centro. Demuestre que $l\le 1/2.$ Marius Cavachi

2 En el triángulo $ABC$ , la circunferencia inscrita toca a los lados $BC,CA$ y $AB$ en $D,E$ y $F$ , respectivamente. Sea $X$ el pie de la altura desde el vértice $D$ sobre el lado $EF$ del triángulo $DEF$ . Demuestre que $AX,BY$ y $CZ$ son concurrentes sobre la recta de Euler del triángulo $DEF$ .

3 Dado un número entero positivo $n$ , determine el número máximo de aristas que puede tener un grafo simple con $n$ vértices tal que no contenga ciclos de longitud par.

1 Halle todas las ternas $(a,b,c)$ de enteros positivos con la siguiente propiedad: para todo primo $p$ , si $n$ es un residuo cuadrático $\mod p$ , entonces $an^2+bn+c$ es un residuo cuadrático $\mod p$ .

4 Demuestre que: a) Hay infinitos enteros positivos $n$ tales que existe un cuadrado igual a la suma de los cuadrados de $n$ enteros positivos consecutivos (por ejemplo, $2$ es uno de tales números, pues $5^2=3^2+4^2$ ) . b) Si $n$ es un entero positivo que no es un cuadrado perfecto, y si $x$ es un número entero tal que $x^2+(x+1)^2+...+(x+n-1)^2$ es un cuadrado perfecto, entonces hay infinitos enteros positivos $y$ tales que $y^2+(y+1)^2+...+(y+n-1)^2$ es un cuadrado perfecto.

1 Demuestre que hay infinitos números enteros positivos $n$ tales que $n^2+1$ tiene dos divisores positivos cuya diferencia es $n$ . Amir

2 Sea $n$ un número entero mayor que $2$ , sean $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ $n$ números reales positivos tales que \[\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_{i}+1}=1\] y sea $k$ un número real mayor que $1$ . Demuestre que: \[\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_{i}^{k}+1}\ge\frac{n}{(n-1)^{k}+1}\] y determine los casos de igualdad.

3 Dado un triángulo $ABC$ , sea $D$ el punto medio del lado $AC$ y sea $M$ el punto que divide al segmento $BD$ en la razón $1/2$ ; es decir, $MB/MD=1/2$ . Las semirrectas $AM$ y $CM$ cortan a los lados $BC$ y $AB$ en los puntos $E$ y $F$ , respectivamente. Suponga que las dos semirrectas son perpendiculares: $AM\perp CM$ . Demuestre que el cuadrilátero $AFED$ es cíclico si y solo si la mediana desde $A$ en el triángulo $ABC$ corta a la recta $EF$ en un punto situado sobre la circunferencia $ABC$ .