1 Demuestre para números positivos: $$(a^2+b+\frac{3}{4})(b^2+a+\frac{3}{4}) \geq (2a+\frac{1}{2})(2b+\frac{1}{2})$$

2 Una recta paralela al lado $AC$ de un triángulo $ABC$ con $\angle C = 90$ corta al lado $AB$ en $M$ y al lado $BC$ en $N$ , de modo que $CN/BN = AC/BC = 2/1$ . Los segmentos $CM$ y $AN$ se cortan en $O$ . Sea $K$ un punto del segmento $ON$ tal que $MO+OK = KN$ . La bisectriz de $\angle ABC$ corta en el punto $T$ a la recta que pasa por $K$ y es perpendicular a $AN$ . Determine $\angle MTB$ .

3 Resuelva en enteros positivos $a>b$ : $$(a-b)^{ab}=a^bb^a$$

4 Una tabla de $n \times n$ se llama buena si se pueden pintar sus celdas con tres colores de modo que, para cualesquiera dos filas distintas y dos columnas distintas, las cuatro celdas en sus intersecciones no sean todas del mismo color. a) Muestre que existe una tabla buena de $9 \times 9$ . b) Demuestre que si una tabla de $n \times n$ es buena, entonces $n<11$ .

5 Para $0<a,b,c,d<\frac{\pi}{2}$ es cierto que $$\cos 2a+\cos 2b+ \cos 2c+ \cos 2d= 4 (\sin a \sin b \sin c \sin d -\cos a \cos b \cos c \cos d)$$ Halle todos los valores posibles de $a+b+c+d$ .

6 $f(n+f(n))=f(n)$ para todo $n \in \mathbb{N}$ . a) Demuestre que si $f(n)$ es finito, entonces $f$ es periódica. b) Dé un ejemplo de función no periódica. PD. $0 \not \in \mathbb{N}$

7 Los diputados de un parlamento se dividieron en $10$ fracciones. Según el reglamento, ninguna fracción puede estar formada por menos de cinco personas, y no hay dos fracciones con el mismo número de miembros. Después de las vacaciones, las fracciones se disolvieron y en su lugar surgieron varias fracciones nuevas. Además, algunos diputados se volvieron independientes. Resultó que no hay dos diputados que, habiendo estado en la misma fracción antes de las vacaciones, hayan entrado en la misma fracción después de las vacaciones. Halle el menor número posible de diputados independientes después de las vacaciones.

8 ¿Existe un pentágono convexo tal que para cada uno de sus ángulos interiores, la bisectriz del ángulo contiene una de las diagonales?

1 Se da un grafo conexo con al menos un vértice de grado impar. Muestre que se pueden colorear las aristas del grafo de rojo y azul de modo que, para cada vértice, la diferencia absoluta entre los números de aristas rojas y azules en ese vértice no supere 1.

2 Sea $C$ un semicírculo con diámetro $AB$ . Las circunferencias $S$ , $S_1$ , $S_2$ , con radios $r$ , $r_1$ , $r_2$ , respectivamente, son tangentes a $C$ y al segmento $AB$ y, además, $S_1$ y $S_2$ son tangentes exteriormente a $S$ . Demuestre que $\frac{1}{\sqrt{r_1}}+\frac{1}{\sqrt{r_2}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{r}}$ .