4 Determine todos los enteros positivos $d,$ tales que existe un entero $k\geq 3,$ tal que se pueden disponer los números $d,2d,\ldots,kd$ en una fila, de modo que la suma de cada dos consecutivos de ellos sea un cuadrado perfecto. k.vasilev

5 Sea $P$ un $2019-$ gono, tal que no tres de sus diagonales concurren en un punto interior. Llamaremos a cada punto de intersección interior de diagonales de $P$ un nudo. ¿Cuál es el mayor número de nudos que se pueden elegir, tal que no exista un ciclo de nudos elegidos? (Cada dos nudos adyacentes de un ciclo deben estar sobre la misma diagonal y sobre cada diagonal hay a lo sumo dos nudos de un ciclo.) k.vasilev

6 Sea $ABCDEF$ un hexágono inscrito con $$AB.CD.EF=BC.DE.FA$$ Sea $B_1$ el punto de reflexión de $B$ con respecto a $AC$ , $D_1$ el punto de reflexión de $D$ con respecto a $CE,$ y finalmente sea $F_1$ el punto de reflexión de $F$ con respecto a $AE.$ Demuestre que $\triangle B_1D_1F_1\sim BDF.$ k.vasilev

1 Se da un cuadrilátero convexo $ABCD$ . $O$ es el punto de intersección de las diagonales $AC$ y $BD$ . Los puntos $A_1,B_1,C_1, D_1$ están respectivamente sobre $AO, BO, CO, DO$ tales que $AA_1=CC_1, BB_1=DD_1$ . Las circunferencias circunscritas de $\triangle AOB$ y $\triangle COD$ se intersecan por segunda vez en $M$ , y las circunferencias circunscritas de $\triangle AOD$ y $\triangle BOC$ - en $N$ . Las circunferencias circunscritas de $\triangle A_1OB_1$ y $\triangle C_1OD_1$ se intersecan por segunda vez en $P$ , y las circunferencias circunscritas de $\triangle A_1OD_1$ y $\triangle B_1OC_1$ - en $Q$ . Demuestre que el cuadrilátero $MNPQ$ es cíclico.

2 Sea $m>1$ un número natural y $N=m^{2017}+1$ . Sobre un pizarrón, de izquierda a derecha, están escritos los siguientes números: \[N, N-m, N-2m,\dots, 2m+1,m+1, 1.\] En cada movimiento, borramos el número más a la izquierda escrito en el pizarrón y todos sus divisores (si los hay). Este proceso continúa hasta que todos los números son borrados. ¿Qué números serán borrados en el último movimiento?

3 Halle todos los números reales $a,$ que satisfacen la siguiente condición: Para toda sucesión $a_1,a_2,a_3,\ldots$ de enteros positivos distintos dos a dos, para la cual la desigualdad $a_n\leq an$ se cumple para todo entero positivo $n,$ existen infinitos números en la sucesión con suma de sus cifras en base $4038,$ que no es divisible por $2019.$ k.vasilev

1 Sea $f(x)=x^2+bx+1,$ donde $b$ es un número real. Halle el número de soluciones enteras de la desigualdad $f(f(x)+x)<0.$ k.vasilev

2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$ y circuncentro $O.$ Sean los puntos de intersección de la mediatriz de $CH$ con $AC$ y $BC$ , $X$ e $Y$ respectivamente. Las rectas $XO$ y $YO$ cortan a $AB$ en $P$ y $Q$ respectivamente. Si $XP+YQ=AB+XY,$ determine $\measuredangle OHC.$ k.vasilev

3 Sea $M$ un conjunto de $2017$ enteros positivos. Para cualquier subconjunto $A$ de $M$ definimos $f(A) := \{x\in M\mid \text{ the number of the members of }A\,,\, x \text{ is multiple of, is odd }\}$ . Halle el número natural mínimo $k$ que satisface la condición: para cualquier $M$ , podemos colorear todos los subconjuntos de $M$ con $k$ colores, de modo que siempre que $A\neq f(A)$ , $A$ y $f(A)$ estén coloreados con colores diferentes.

4 Halle todas las ternas (p,a,m); p es un número primo, $a,m\in \mathbb{N}$ , que satisfacen: $a\leq 5p^2$ y $(p-1)!+a=p^m$ .