5 Sean $X,Y$ dos puntos sobre el lado $BC$ del triángulo $ABC$ tales que $2XY=BC$ ($X$ está entre $B$ y $Y$). Sea $AA'$ el diámetro de la circunferencia circunscrita del triángulo $AXY$. Sea $P$ el punto donde $AX$ corta a la perpendicular desde $B$ a $BC$, y $Q$ el punto donde $AY$ corta a la perpendicular desde $C$ a $BC$. Demuestra que la recta tangente desde $A'$ a la circunferencia circunscrita de $AXY$ pasa por el circuncentro del triángulo $APQ$. Propuesto por Iman Maghsoudi.

3 Sea $O$ el circuncentro del triángulo $ABC$. La recta $CO$ interseca la altura desde $A$ en el punto $K$. Sean $P,M$ los puntos medios de $AK$, $AC$ respectivamente. Si $PO$ interseca a $BC$ en $Y$, y la circunferencia circunscrita del triángulo $BCM$ corta a $AB$ en $X$, demuestra que $BXOY$ es cíclico. Propuesto por Ali Daeinabi - Hamid Pardazi

4 Tres círculos $\omega_1,\omega_2,\omega_3$ son tangentes a la recta $l$ en los puntos $A,B,C$ ($B$ está entre $A,C$) y $\omega_2$ es tangente externamente a los otros dos. Sean $X,Y$ los puntos de intersección de $\omega_2$ con la otra tangente externa común de $\omega_1,\omega_3$. La recta perpendicular a $l$ que pasa por $B$ corta a $\omega_2$ nuevamente en $Z$. Demuestra que el círculo con diámetro $AC$ toca a $ZX,ZY$. Propuesto por Iman Maghsoudi - Siamak Ahmadpour

5 Esfera $S$ toca un plano. Sean $A,B,C,D$ cuatro puntos en el plano tales que no hay tres de ellos colineales. Considera el punto $A'$ tal que $S$ es tangente a las caras del tetraedro $A'BCD$. Los puntos $B',C',D'$ se definen de manera similar. Demuestra que $A',B',C',D'$ son coplanares y que el plano $A'B'C'D'$ toca a $S$. Propuesto por Alexey Zaslavsky (Rusia)

Sea $\omega$ el circuncírculo del triángulo $ABC$ con $AC > AB$. Sea $X$ un punto sobre $AC$ y $Y$ un punto sobre la circunferencia $\omega$, tales que $CX = CY = AB$. (Los puntos $A$ y $Y$ están en lados distintos de la recta $BC$). La recta $XY$ corta a $\omega$ por segunda vez en el punto $P$. Demuestra que $PB = PC$.

G6 Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$ , y sea $M$ el punto medio de $BC$ . El rayo $MI$ interseca a $AB$ y $AC$ en $P$ y $Q$ . Si $N$ es el punto medio del arco mayor $BC$ , demuestre que el circuncentro del triángulo $NPQ$ se encuentra sobre $AI$ . Rohan Bodke

4 Sea $\omega$ el circuncírculo del triángulo rectángulo $ABC$ ( $\angle A = 90^{\circ}$ ). La tangente a $\omega$ en el punto $A$ corta a la recta $BC$ en el punto $P$. Supón que $M$ es el punto medio del arco menor $AB$, y que $PM$ corta a $\omega$ por segunda vez en $Q$. La tangente a $\omega$ en el punto $Q$ corta a $AC$ en $K$. Demuestra que $\angle PKC = 90^{\circ}$. Propuesto por Davood Vakili

3 Supón que $ABCD$ es un cuadrilátero convexo sin lados paralelos. Construye un paralelogramo sobre cada par de lados consecutivos. Demuestra que entre estos $4$ puntos nuevos, hay solo un punto dentro del cuadrilátero $ABCD$. por Morteza Saghafian

4 En un triángulo rectángulo \(ABC\) ( \(\angle A = 90^o\) ), la mediatriz de \(BC\) corta a la recta \(AC\) en \(K\) y la mediatriz de \(BK\) corta a la recta \(AB\) en \(L\). Si la recta \(CL\) es la bisectriz interna del ángulo \(C\), encuentra todos los valores posibles para los ángulos \(B\) y \(C\). por Mahdi Etesami Fard

1 En el trapecio $ABCD$ con $AB || CD$ , $\omega_1$ y $\omega_2$ son dos círculos con diámetros $AD$ y $BC$ , respectivamente. Sean $X$ y $Y$ dos puntos arbitrarios en $\omega_1$ y $\omega_2$ , respectivamente. Demuestra que la longitud del segmento $XY$ no es mayor que la mitad del perímetro de $ABCD$ . Propuesto por Mahdi Etesami Fard