3 La recta $l$ interseca a la prolongación de $AB$ en $D$ ( $D$ está más cerca de $B$ que de $A$ ) y a la prolongación de $AC$ en $E$ ( $E$ está más cerca de $C$ que de $A$ ) del triángulo $ABC$ . Suponga que el reflejo de la recta $l$ con respecto a la mediatriz del lado $BC$ interseca a las prolongaciones mencionadas en $D'$ y $E'$ , respectivamente. Demuestre que si $BD+CE=DE$ , entonces $BD'+CE'=D'E'$ .

3 Los círculos $W_1,W_2$ se intersecan en $D$ y $P$ . $A$ y $B$ están sobre $W_1,W_2$ , respectivamente, tales que $AB$ es tangente a $W_1$ y $W_2$ . Suponga que $D$ está más cerca que $P$ de la recta $AB$ . $AD$ interseca al círculo $W_2$ por segunda vez en $C$ . Sea $M$ el punto medio de $BC$ . Demuestre que $\angle{DPM}=\angle{BDC}$ . Amir

4 Sea $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ un polinomio con coeficientes reales tal que \[\min\{d,b+d\}> \max\{|{c}|,|{a+c}|\}\] Demuestre que $P(x)$ no tiene raíces reales en $[-1,1]$ . Amir

5 En el triángulo $ABC$ tenemos $\angle A=\frac{\pi}{3}$ . Construya $E$ y $F$ sobre las prolongaciones de $AB$ y $AC$ , respectivamente, tales que $BE=CF=BC$ . Suponga que $EF$ interseca a la circunferencia circunscrita de $\triangle ACE$ en $K$ . ( $K\not \equiv E$ ) . Demuestre que $K$ está sobre la bisectriz del $\angle A$ . Amir

6 Una escuela tiene $n$ estudiantes y se ofrecen algunas superclases para ellos. Cada estudiante puede participar en cualquier número de clases que desee. Toda clase tiene al menos dos estudiantes participando en ella. Sabemos que si dos clases diferentes tienen al menos dos estudiantes en común, entonces el número de estudiantes de la primera de estas dos clases es diferente del número de estudiantes de la segunda. Demuestre que el número de clases no es mayor que $\left(n-1\right)^2$ . Amir

1 Sea $ p(x) $ un polinomio cuadrático para el cual : \[ |p(x)| \leq 1 \qquad \forall x \in \{-1,0,1\} \] Demuestre que : \[ \ |p(x)|\leq\frac{5}{4} \qquad \forall x \in [-1,1]\]

2 En algunos de los cuadrados $ 1\times1 $ de un jardín cuadrado $ 50\times50 $ hemos cultivado manzanos, granados y melocotoneros (a lo más un árbol en cada cuadrado). Llamamos a un cuadrado $ 1\times1 $ una habitación y llamamos vecinas a dos habitaciones si tienen un lado común. Sabemos que un granado tiene al menos una habitación vecina con manzano y un melocotonero tiene al menos una habitación vecina con manzano y una habitación vecina con granado. También sabemos que una habitación vacía (una habitación en la que no hay árboles) tiene al menos una habitación vecina con manzano, una habitación vecina con granado y una habitación vecina con melocotonero. Demuestre que el número de habitaciones vacías no es mayor que $ 1000. $

3 Sea $ ABC $ un triángulo y el punto $ D $ está sobre el segmento $ BC $ tal que $ AD $ es la bisectriz interior de $ \angle A $ . Prolongamos $ AD $ hasta que interseca a la circunferencia circunscrita de $ \Delta ABC $ en $ M $ . Trazamos una recta desde $ D $ que interseca a las rectas $ MB,MC $ en $ P,Q $ , respectivamente ( $ M $ no está entre $ B,P $ ni entre $ C,Q $ ) . Demuestre que $ \angle PAQ\geq\angle BAC $ .

1 Tenemos un rectángulo $ (n+2)\times n $ y lo hemos dividido en $ n(n+2) \ \ 1\times1 $ cuadrados. $ n(n+2) $ soldados están de pie sobre los puntos de intersección ( $ n+2 $ filas y $ n $ columnas). El comandante grita y cada soldado permanece en su lugar o da un paso hacia el norte, el oeste, el este o el sur, de modo que queda sobre un punto de intersección adyacente. Después del grito, vemos que los soldados están de pie sobre los puntos de intersección de un rectángulo $ n\times(n+2) $ ( $ n $ filas y $ n+2 $ columnas), de modo que la primera y la última fila se eliminan y se añaden 2 columnas a la derecha y a la izquierda ( $1$ a la izquierda y $1$ a la derecha). Demuestre que $ n $ es par.

2 Sean $ a_1<a_2<\cdots<a_n $ enteros positivos tales que para todo par de índices distintos $1\leq{i,j}\leq{n}$ se tiene que $ a_j-a_i $ divide a $ a_i $ . Demuestre que \[ ia_j\leq{ja_i} \qquad \text{ for } 1\leq{i}<j\leq{n} \]