5 Sea $n$ un entero positivo. Define un camaleón como cualquier secuencia de $3n$ letras, con exactamente $n$ ocurrencias de cada una de las letras $a, b$ y $c$. Define un intercambio como la transposición de dos letras adyacentes en un camaleón. Demuestra que para cualquier camaleón $X$, existe un camaleón $Y$ tal que $X$ no puede transformarse en $Y$ usando menos de $3n^2/2$ intercambios.

2 Sea un triángulo escaleno $ABC$ , y su circunferencia inscrita toca a $BC, CA, AB$ en $D, E, F$ . La mediatriz de $BC$ corta a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $P, Q$ , donde $P$ está en el mismo lado que $A$ con respecto a $BC$ . Sea la recta paralela a $AQ$ que pasa por $D$ y corta a $EF$ en $R$ . Demuestre que la intersección entre $EF$ y $PQ$ se encuentra sobre la circunferencia circunscrita de $BCR$ .

3 Halle todos los $n>1$ y los enteros $a_1,a_2,\dots,a_n$ que satisfacen las tres condiciones siguientes: (i) $2<a_1\le a_2\le \cdots\le a_n$ (ii) $a_1,a_2,\dots,a_n$ son divisores de $15^{25}+1$ . (iii) $2-\frac{2}{15^{25}+1}=\left(1-\frac{2}{a_1}\right)+\left(1-\frac{2}{a_2}\right)+\cdots+\left(1-\frac{2}{a_n}\right)$

4 4. Sean $a \geq b \geq c \geq d>0$ . Demuestre que \[ \frac{b^3}{a} + \frac{c^3}{b} + \frac{d^3}{c} + \frac{a^3}{d} + 3 \left( ab+bc+cd+da \right) \geq 4 {\left( a^2 + b^2 + c^2 +d^2 \right)}. \] Otros problemas (en coreano) también están disponibles en https://www.facebook.com/KoreanMathOlympiad

5 Dado un entero $n\ge 2$ , demuestre que existen dos enteros $a,b$ que satisfacen lo siguiente. Para todo entero $m$ , $m^3+am+b$ no es un múltiplo de $n$ .

6 Sea $ABC$ un triángulo escaleno acutángulo, y denote por $D,E,F$ los puntos medios de $BC,CA,AB$ , respectivamente. Sea la circunferencia circunscrita de $DEF$ , $O_1$ , y sea $N$ su centro. Sea la circunferencia circunscrita de $BCN$ , $O_2$ . $O_1$ y $O_2$ se cortan en dos puntos $P, Q$ . $O_2$ corta a $AB$ en el punto $K(\neq B)$ y corta a $AC$ en el punto $L(\neq C)$ . Demuestre que las tres rectas $EF,PQ,KL$ son concurrentes.

7 Demuestre que no existe una función $f:\mathbb{R}_{\ge0}\rightarrow\mathbb{R}$ que satisfaga: $f(x+y^2)\ge f(x)+y$ para todos los números reales no negativos $x,y$ .

8 Para un entero positivo $n$ , hay una escuela con $n$ personas. Para un conjunto $X$ de estudiantes de esta escuela, si cualesquiera dos estudiantes de $X$ se conocen, llamamos a $X$ bien formado . Si el número máximo de estudiantes en un conjunto bien formado es $k$ , demuestre que el número máximo de conjuntos bien formados no es mayor que $3^{(n+k)/3}$ . Aquí, el conjunto vacío y un conjunto con un solo estudiante también se consideran bien formados.

1 Sean $a_1, a_2, . . . $ números reales positivos que satisfacen (i) $a_{n+1}=a_1^2\cdot a_2^2 \cdot . . . \cdot a_n^2-3$ ( para todos los enteros positivos $n$ ) (ii) $\frac{1}{2}(a_1+\sqrt{a_2-1})$ es un entero positivo. Demuestre que $\frac{1}{2}(a_1 \cdot a_2 \cdot . . . \cdot a_n + \sqrt{a_{n+1}-1})$ es un entero positivo

6 Halle todas las funciones $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que (i): Para reales distintos $x,y$ , $f(x) \not= f(y)$ . (ii): Para todos los reales $x,y$ , $f(x+f(f(-y)))=f(x)+f(f(y))$