1 Halle todas las ternas $(a,b,c)$ tales que $a,b,c$ son enteros del conjunto $\{2000,2001,\ldots,3000\}$ que satisfacen $a^2+b^2=c^2$ y $\text{gcd}(a,b,c)=1$ .

2 Sea $u_{jk}$ un número real para cada $j=1,2,3$ y cada $k=1,2$ y sea $N$ un entero tal que \[\max_{1\le k \le 2} \sum_{j=1}^3 |u_{jk}| \leq N\] Sean $M$ y $l$ enteros positivos tales que $l^2 <(M+1)^3$ . Demuestre que existen enteros $\xi_1,\xi_2,\xi_3$ no todos nulos, tales que \[\max_{1\le j \le 3}\xi_j \le M\ \ \ \ \text{and} \ \ \ \left|\sum_{j=1}^3 u_{jk}\xi_k\right| \le \frac{MN}{l} \ \ \ \ \text{for k=1,2}\]

3 Sean $A_1,A_2,\ldots,A_n$ subconjuntos de un conjunto finito $S$ tales que $|A_j|=8$ para cada $j$ . Para un subconjunto $B$ de $S$ sea $F(B)=\{j \mid 1\le j\le n \ \ \text{and} \ A_j \subset B\}$ . Suponga que para cada subconjunto $B$ de $S$ se cumple al menos una de las siguientes condiciones (a) $|B| > 25$ , (b) $F(B)={\O}$ , (c) $\bigcap_{j\in F(B)} A_j \neq {\O}$ . Demuestre que $A_1\cap A_2 \cap \cdots \cap A_n \neq {\O}$ .

1 Sea $ABC$ un triángulo con todos los ángulos $\leq 120^{\circ}$ . Sea $F$ el punto de Fermat del triángulo $ABC$ , es decir, el punto interior de $ABC$ tal que $\angle AFB = \angle BFC = \angle CFA = 120^\circ$ . Para cada uno de los tres triángulos $BFC$ , $CFA$ y $AFB$ , trace su recta de Euler - es decir, la recta que une su circuncentro y su baricentro. Demuestre que estas tres rectas de Euler pasan por un punto común. Observación. El punto de Fermat $F$ también se conoce como el primer punto de Fermat o el primer punto de Torricelli del triángulo $ABC$ . Floor van Lamoen darij

2 Demuestre que se puede hallar un $n_{0} \in \mathbb{N}$ tal que $\forall m \geq n_{0}$ , existen tres enteros positivos $a$ , $b$ , $c$ tales que (i) $m^3 < a < b < c < (m+1)^3$ ; (ii) $abc$ es el cubo de un entero.

3 Si $a$ , $b$ , $c$ son tres números reales positivos tales que $ab+bc+ca = 1$ , demuestre que \[ \sqrt[3]{ \frac{1}{a} + 6b} + \sqrt[3]{\frac{1}{b} + 6c} + \sqrt[3]{\frac{1}{c} + 6a } \leq \frac{1}{abc}. \]

1 Considere un polígono de $n$ - lados inscrito en una circunferencia ( $n \geq 4$ ) . Particióne el polígono en $n-2$ triángulos usando diagonales que no se intersecan. Demuestre que, independientemente de la triangulación, la suma de los inradios de los triángulos es constante.

2 Sea $\tau(n)$ el número de divisores positivos del entero positivo $n$ . Demuestre que existen infinitos enteros positivos $a$ tales que la ecuación $ \tau(an)=n $ no tiene solución entera positiva $n$ .

3 Hay $10001$ estudiantes en una universidad. Algunos estudiantes se unen para formar varios clubes (un estudiante puede pertenecer a clubes distintos). Algunos clubes se unen para formar varias sociedades (un club puede pertenecer a sociedades distintas). Hay un total de $k$ sociedades. Suponga que se cumplen las siguientes condiciones: i.) Cada par de estudiantes está en exactamente un club. ii.) Para cada estudiante y cada sociedad, el estudiante está en exactamente un club de la sociedad. iii.) Cada club tiene un número impar de estudiantes. Además, un club con ${2m+1}$ estudiantes ( $m$ es un entero positivo) está en exactamente $m$ sociedades. Halle todos los valores posibles de $k$ . Propuesto por Guihua Gong, Puerto Rico

1 Sean $0 <a <b$ dos números racionales. Sea $M$ un conjunto de números reales positivos con las propiedades: (i) $a \in M$ y $b \in M$ ; (ii) si $x$ $\in M$ y $y \in M$ , entonces $\sqrt{xy} \in M$ . Sea $M^*$ el conjunto de todos los números irracionales de $M$ . Demuestre que para todo $c,d$ tales que $a <c <d<b$ , $M^*$ contiene un elemento $m$ con la propiedad $c<m<d$