a) Demuestra que para todos los enteros positivos \(n \geq 3\) se cumple: \[ \binom{n}{1}+\binom{n}{2}+...+\binom{n}{n-1}=2^n-2 \] donde \(\binom{n}{k}\), con entero \(k\) tal que \(n \geq k \geq 0\), es el coeficiente binomial. b) Sea \(n \geq 3\) un entero positivo impar. Demuestra que el conjunto \[ A=\left\{ \binom{n}{1},\binom{n}{2},...,\binom{n}{\frac{n-1}{2}} \right\} \] tiene un número impar de números impares.

8 El profesor escribió un número natural distinto de cero en la pizarra. El profesor explicó a los estudiantes que pueden borrar el número escrito en la pizarra y escribir en su lugar un número natural nuevo, cuando quieran, aplicando cada vez una de las siguientes reglas: 1) En lugar del número actual $n$ escribir $3n + 13$ 2) En lugar del número actual $n$ escribir el número $\sqrt{n}$ , si $n$ es un cuadrado perfecto . a) Si el número $256$ fue escrito originalmente en la pizarra, ¿es posible obtener el número $55$ en la pizarra después de un número finito de pasos? b) Si el número $55$ fue escrito originalmente en la pizarra, ¿es posible obtener el número $256$ en la pizarra después de un número finito de pasos?

1 Dados los enteros positivos $a, b, c$ tales que $a$ es impar, $b>c$ , $a, b, c$ son coprimos y $a(b-c) =2bc$ . Demuestre que $abc$ es un cuadrado

2 Determine los elementos de los conjuntos $A = \{x \in N | x \ne 4a + 7b, a, b \in N\}$ , $B = \{x \in N | x\ne 3a + 11b, a, b \in N\}$ .

3 El punto $O$ es el centro del círculo circunscrito del triángulo acutángulo $ABC$ , y $H$ es el punto de intersección de las alturas de este triángulo. Sean $A_1, B_1, C_1$ los puntos diametralmente opuestos a los vértices $A, B , C$ respectivamente del triángulo, y $A_2, B_2, C_2$ los puntos medios de los segmentos $[AH], [BH] ¸[CH]$ respectivamente . Demuestre que las rectas $A_1A_2, B_1B_2, C_1C_2$ son concurrentes .

4 Un tren recorre el trayecto de la estación $A$ a la estación $B$ en $X$ minutos ( $0 <X <60$ ) . Se sabe que al partir de $A$ , así como al llegar a $B$ , el ángulo formado por la aguja horaria y la minutera tenía medida igual a $X$ grados. Halle $X $ .

5 Los números reales $a, b, c$ son positivos, y los números reales $p, q, r \in [0,1/2]$ satisfacen la igualdad $p + q + r = 1$ . Demuestre la desigualdad $$pab + qbc + rca \le \frac18 (a + b + c)^2.$$

6 Determine todas las ternas de números reales $(x, y, z)$ que satisfacen la ecuación $4xyz = x^4 + y^4 + z^4 + 1$ .

7 Los puntos $M$ y $N$ están ubicados respectivamente sobre la diagonal $(AC)$ y el lado $(BC)$ del cuadrado $ABCD$ tales que $MN = MD$ . Determine la medida del ángulo $MDN$ .

8 Un punto $M (x, y)$ del plano cartesiano de coordenadas $xOy$ se llama punto reticular si tiene coordenadas enteras. Cada punto reticular está coloreado de rojo o de azul. Demuestre que en el plano existe al menos un rectángulo con vértices reticulares del mismo color.