G7 Sea \( ABC \) un triángulo acutángulo y escaleno, y sea \( D \) un punto del lado \( BC \) . Se toman los puntos \( E \) y \( F \) sobre \( AD \) tales que \( EB \perp AB \) y \( FC \perp AC \) . Se toman los puntos \( S \) y \( T \) sobre \( BC \) tales que \( SE \parallel AC \) y \( TF \parallel AB \) . La circunferencia circunscrita de \( \triangle BSE \) corta a \( AB \) por segunda vez en \( M \) , y la circunferencia circunscrita de \( \triangle CTF \) corta a \( AC \) por segunda vez en \( N \) . Demuestre que las rectas \( MS \) , \( NT \) y \( AD \) son concurrentes

Para un entero positivo \( n \geq 2 \) , ¿existen soluciones enteras positivas para el siguiente sistema de ecuaciones? \[ \begin{cases} a^n - 2b^n = 1, \\ b^n - 2c^n = 1. \end{cases} \]

En una prueba de opción múltiple, hay 4 problemas, cada uno con 3 respuestas posibles. En cierto grupo de examinados, resultó que para cada 3 de ellos, había una pregunta en la que cada uno dio una respuesta distinta. ¿Cuál es el número máximo de examinados en este grupo?

. Demuestre que para todos los números reales no negativos $a$ y $b$ se cumple la desigualdad $\frac{1}{2}(a+b)^{2}+\frac{1}{4}(a+b) \geqslant a\sqrt{b}+b\sqrt{a}$ . P2. Dos trabajadores salen de la misma casa al mismo tiempo y caminan hacia la misma fábrica. La longitud del paso del primer trabajador es $10\%$ más corta que la del segundo, pero da $10\%$ más pasos por unidad de tiempo que el segundo. ¿Qué trabajador llega primero a la fábrica? Explique su respuesta. P3. Dentro de un cubo de lado $1$ hay $9$ puntos. Demuestre que entre ellos existen dos puntos cuya distancia es a lo sumo $\frac{\sqrt{3}}{2}$ . P4. Durante una tregua, caballeros de dos clanes hostiles se sientan alrededor de una mesa redonda. Resulta que el número de caballeros que tienen a un enemigo sentado a su derecha es igual al número de caballeros que tienen a un amigo sentado a su derecha. Demuestre que el número total de caballeros es divisible por $4$ .

3 ¿Cuál es el mayor número posible de enteros distintos que se pueden elegir de modo que la suma de cualesquiera dos enteros elegidos distintos pueda escribirse en la forma $p^{n}$ para algún número primo $p$ y algún número natural $n$ ?

. Resuelva $6x^{2}+5y^{2}=74$ en enteros. P2. Demuestre que el número $(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots+a_{12}^{2}) \cdot a_{1}^{2} \cdot a_{2}^{2} \cdots a_{12}^{2}$ es divisible por $12$ para cualesquiera enteros $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{12}$ . P3. Demuestre que la suma de las distancias desde cualquier punto de la base de un triángulo isósceles a sus dos lados iguales es igual a la altura del triángulo trazada hacia uno de los lados iguales. P4. En un tablero de ajedrez $1000\times1000$ hay un rey negro y $499$ torres blancas. Demuestre que para cualquier colocación inicial de las piezas, después de algún número de movimientos el rey negro puede quedar en jaque por una torre blanca, sin importar cómo jueguen las piezas blancas.

. ¿Qué número es mayor: $2006^{2008}\cdot2008^{2006}$ o $2007^{2\cdot2007}$ ? Justifique su respuesta. P6. Determine todos los números primos $p$ y $q$ tales que la ecuación $x^{4}-px^{3}+q=0$ tenga una raíz entera. P7. Desde un punto $C$ se trazan las tangentes $CA$ y $CB$ a un círculo con centro $O$ . Desde un punto arbitrario $N$ del círculo se trazan las perpendiculares $ND$ , $NE$ y $NF$ a las rectas $AB$ , $CA$ y $CB$ , respectivamente. Demuestre que $ND=\sqrt{NE \cdot NF}$ . P8. El número de un billete de autobús consta de seis cifras (se permiten ceros a la izquierda). El billete se llama de la suerte si la suma de las tres primeras cifras es igual a la suma de las tres últimas cifras. Demuestre que la suma de los números de todos los billetes de la suerte es divisible por $13$ .

Nivel 3 Cada respuesta correcta vale 3 puntos.

1 Un conejo dormido se encuentra en el interior de un $2024$ -ágono convexo. Un cazador elige tres vértices del polígono y coloca una trampa que cubre el interior y la frontera de la región triangular determinada por ellos. Determine el número mínimo de veces que necesita hacer esto para garantizar que el conejo quede atrapado. Propuesto por Anant Mudgal y Rohan Goyal

. Sean $a, b, c$ números reales tales que $a+b+c=0$ y $a^{4}+b^{4}+c^{4}=50$ . Halle el valor de $ab+bc+ca$ . P2. La circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ toca los lados $AB$ y $AC$ en los puntos $M$ y $N$ , respectivamente. Sea $P$ el punto de intersección de la recta $MN$ y la bisectriz del ángulo $B$ (o su prolongación). Demuestre que $\angle BPC$ es un ángulo recto. P3. Demuestre que para todo natural $n$ , existen $n$ números naturales compuestos consecutivos. P4. Halle todos los enteros $b, c$ tales que la ecuación cuadrática $x^{2}-bx+c=0$ tiene dos raíces reales $x_{1}, x_{2}$ que satisfacen $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=5$ . P5. Se da un trapecio rectángulo $ABCD$ , donde $\angle B$ y $\angle C$ son ángulos rectos. Se construye una circunferencia con diámetro $AD$ que interseca el lado $BC$ en los puntos $M$ y $N$ . Demuestre que $BM \cdot MC = AB \cdot CD$ . P6. Dentro de un cuadrado de lado $1$ hay varias circunferencias cuya suma total de longitudes de circunferencia es igual a $10$ . Demuestre que existe una recta que interseca al menos cuatro de estas circunferencias.