Sean $A{}$ y $B$ matrices invertibles $n\times n$ con entradas reales. Suponga que la inversa de $A+B^{-1}$ es $A^{-1}+B$ . Demuestre que $\det(AB)=1$ . ¿Se cumple esta propiedad para matrices $2\times 2$ con entradas complejas?

Sea $f:[a,b]\to[a,b]$ una función continua. Se sabe que existen $\alpha,\beta\in (a,b)$ tales que $f(\alpha)=a$ y $f(\beta)=b$ . Demuestre que la función $f\circ f$ tiene al menos tres puntos fijos.

Sea $f:[-\pi/2,\pi/2]\to\mathbb{R}$ una función dos veces diferenciable que satisface \[\left(f''(x)-f(x)\right)\cdot\tan(x)+2f'(x)\geqslant 1,\] para todo $x\in(-\pi/2,\pi/2)$ . Demuestre que \[\int_{-\pi/2}^{\pi/2}f(x)\cdot \sin(x) \ dx\geqslant \pi-2.\]

Caitlin y Donal juegan un juego llamado Basketball Shoot-Out . El juego consta de $10$ rondas. En cada ronda, Caitlin y Donal lanzan una pelota simultáneamente hacia la canasta del otro. Si la pelota de un jugador cae en la canasta, ese jugador anota un punto; de lo contrario, anota cero puntos. El marcador muestra la sucesión completa de puntos anotados por cada jugador en cada una de las $10$ rondas del juego. Resulta que Caitlin ha anotado en total al menos tantos puntos como Donal después de cada ronda del juego. Demuestre que el número de marcadores posibles es divisible por $4$ pero no por $8$ . leannan-capall

Sea $(G,\cdot)$ un grupo con elemento neutro $e{}$ , y sean $H{}$ y $K$ subgrupos propios de $G$ , que satisfacen $H\cap K=\{e\}$ . Se sabe que $(G\setminus(H\cup K))\cup\{e\}$ es cerrado bajo la operación de $G$ . Demuestre que $x^2=e$ para todos los elementos $x{}$ de $G{}$ .

Sea $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ una función continua. Demuestre que \[\lim_{n\to\infty}\int_0^1 f(x^n) \ dx=f(0).\] Además, si $f(0)=0$ y $f$ es diferenciable por la derecha en $0{}$ , demuestre que los límites \[\lim_{\varepsilon\to0}\int_\varepsilon^1\frac{f(x)}{x} \ dx\quad\text{and}\quad\lim_{n\to\infty}\left(n\int_0^1f(x^n) \ dx\right)\] existen, son finitos y son iguales.

Considere las funciones $f,g,h:\mathbb{R}_{\geqslant 0}\to\mathbb{R}_{\geqslant 0}$ y la operación binaria $*:\mathbb{R}_{\geqslant 0}\times \mathbb{R}_{\geqslant 0}\to \mathbb{R}_{\geqslant 0}$ definida como \[x*y=f(x)+g(y)+h(x)\cdot|x-y|,\] para todos $x,y\in\mathbb{R}_{\geqslant 0}$ . Suponga que $(\mathbb{R}_{\geqslant 0},*)$ es un monoide conmutativo. Determine las funciones $f,g,h$ .

5 Ana, Beatriz, Carlos, Diego y Emilia juegan un torneo de ajedrez. Cada jugador se enfrenta a cada uno de los otros cuatro solo una vez. Cada jugador obtiene $2$ puntos si gana la partida, $1$ punto si empata y $0$ puntos si pierde. Al final del torneo, resulta que las puntuaciones de los $5$ jugadores son todas diferentes. Encuentra el número máximo de empates que podría haber en el torneo y justifica por qué no podría haber un número mayor de empates.

Los números $1,2,3,\dots,98,99$ están escritos en un pizarrón. Se deben seleccionar $50$ de ellos de tal manera que la suma de cualesquiera dos números seleccionados nunca sea igual a $99$ o $100$. ¿Cuántas selecciones de este tipo son posibles?

2 Sea $\text{N}$ un entero positivo. Un divisor de $\text{N}$ se llama común si es mayor que $1$ y distinto de $\text{N}$. Un entero positivo se llama especial si tiene al menos dos divisores comunes y es divisible por toda diferencia posible entre cualesquiera dos de sus divisores comunes. Encuentra todos los enteros especiales.