Halle el valor máximo del número real $k$ tal que \[\frac{a}{1+9bc+k(b-c)^2}+\frac{b}{1+9ca+k(c-a)^2}+\frac{c}{1+9ab+k(a-b)^2}\geq \frac{1}{2}\] se cumple para todos los números reales no negativos $a,\ b,\ c$ que satisfacen $a+b+c=1$ .

Se dibuja sobre un tablero un 1001-gono regular, cuyos vértices están numerados con $1,2,\ldots,1001.$ ¿Es posible etiquetar los vértices de un 1001-gono de cartón con los números $1,2,\ldots,1001$ de modo que para cualquier superposición de los dos 1001-gonos haya dos vértices con el mismo número, uno sobre el otro? Note que el polígono de cartón puede invertirse.

Sobre los lados $AB{}$ y $AC{}$ del triángulo acutángulo $ABC{}$ se eligen los puntos $M{}$ y $N{}$ tales que $MN$ pasa por el circuncentro de $ABC.$ Sean $P{}$ y $Q{}$ los puntos medios de los segmentos $CM{}$ y $BN{}.$ Demuestre que $\angle POQ=\angle BAC.$

Se dan finitas rectas que pasan por algún punto $P{}.$ Demuestre que estas rectas pueden colorearse de rojo y azul y que se puede encontrar un punto $Q\neq P$ tal que la suma de las distancias desde $Q{}$ a las rectas rojas sea igual a la suma de las distancias desde $Q{}$ a las rectas azules.

Demuestre que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que el mayor divisor primo de $n^4 + n^2 + 1$ es igual al mayor divisor primo de $(n+1)^4 + (n+1)^2 +1$ .

Los jugadores $A$ y $B$ juegan un juego "pintoso" sobre la recta real. El jugador $A$ tiene una olla de pintura con cuatro unidades de tinta negra. Una cantidad $p$ de esta tinta basta para ennegrecer un intervalo real (cerrado) de longitud $p$ . En cada ronda, el jugador $A$ elige algún entero positivo $m$ y aporta $1/2^m $ unidades de tinta de la olla. Luego el jugador $B$ elige un entero $k$ y ennegrece el intervalo de $k/2^m$ a $(k+1)/2^m$ (algunas partes de este intervalo pueden haber sido ennegrecidas antes). El objetivo del jugador $A$ es alcanzar una situación en la que la olla esté vacía y el intervalo $[0,1]$ no esté completamente ennegrecido. Decida si existe una estrategia para que el jugador $A$ gane en un número finito de movimientos.

El círculo inscrito del triángulo $ABC{}$ toca los lados $BC,CA$ y $AB{}$ en $A',B'$ y $C'{}$ respectivamente. Sea $I_a$ el $A$ - excentro de $ABC{}.$ Demuestre que $I_aA'$ es perpendicular a la recta determinada por los circuncentros de $I_aBC'$ y $I_aCB'.$

Un círculo con centro en $O{}$ pasa por los vértices $B{}$ y $C{}$ del triángulo acutángulo $ABC$ e interseca los lados $AC{}$ y $AB{}$ en $D{}$ y $E{}$ respectivamente. Los segmentos $CE$ y $BD$ se intersecan en $U{}.$ El rayo $OU$ interseca la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $P{}.$ Demuestre que los incentros de los triángulos $PEC$ y $PBD$ coinciden.

Sea $n>1$ un entero y sean $x_1,x_2,\ldots,x_n$ $n{}$ números reales arbitrarios. Determine el valor mínimo de \[\sum_{i<j}|\cos(x_i-x_j)|.\]

Nueve números $a, b, c, \dots$ están dispuestos alrededor de un círculo. Todos los números de la forma $a+b^c, \dots$ son primos. ¿Cuál es el mayor número posible de números diferentes entre $a, b, c, \dots$ ?