28 Sea $Q$ un cuadrado unitario en el plano: $Q = [0, 1] \times [0, 1]$ . Defínase $T :Q \longrightarrow Q$ como sigue: \[T(x, y) =\begin{cases} (2x, \frac{y}{2}) &\mbox{ if } 0 \le x \le \frac{1}{2};\\(2x - 1, \frac{y}{2}+ \frac{1}{2})&\mbox{ if } \frac{1}{2} < x \le 1.\end{cases}\] Demuestre que para todo disco $D \subset Q$ existe un entero $n > 0$ tal que $T^n(D) \cap D \neq \emptyset.$ Amir

26 Una caja con forma de paralelepípedo puede llenarse completamente con cubos de lado $1.$ Si ponemos en ella el número máximo posible de cubos, cada uno de volumen $2$ , con los lados paralelos a los de la caja, entonces exactamente el $40$ por ciento del volumen de la caja queda ocupado. Determine las dimensiones posibles de la caja.

32 Considérese el tablero de ajedrez infinito que cubre todo el plano. En cada casilla del tablero hay un número real no negativo. Cada número es la media aritmética de los números en las cuatro casillas adyacentes del tablero. Demuestre que los números que aparecen en las casillas del tablero son todos iguales.

30 Demuestre que si $P(x) = (x-a)^kQ(x)$ , donde $k$ es un entero positivo, $a$ es un número real no nulo, $Q(x)$ es un polinomio no nulo, entonces $P(x)$ tiene al menos $k + 1$ coeficientes no nulos.

25 Considérese el siguiente sistema con $q=2p$ : \[\begin{matrix} a_{11}x_{1}+\ldots+a_{1q}x_{q}=0,\\ a_{21}x_{1}+\ldots+a_{2q}x_{q}=0,\\ \ldots ,\\ a_{p1}x_{1}+\ldots+a_{pq}x_{q}=0,\\ \end{matrix}\] en el cual todo coeficiente es un elemento del conjunto $\{-1,0,1\}$ $.$ Demuestre que existe una solución $x_{1}, \ldots,x_{q}$ del sistema con las propiedades: a.) todos los $x_{j}, j=1,\ldots,q$ son enteros $;$ b.) existe al menos un j para el cual $x_{j} \neq 0;$ c.) $|x_{j}| \leq q$ para cualquier $j=1, \ldots ,q.$

27 En un plano se dan tres puntos $P,Q,R,$ no alineados. Sean $k, l, m$ números positivos. Construya un triángulo $ABC$ cuyos lados pasen por $P, Q,$ y $R$ de modo que $P$ divida al segmento $AB$ en la razón $1 : k$ , $Q$ divida al segmento $BC$ en la razón $1 : l$ , y $R$ divida al segmento $CA$ en la razón $1 : m.$

29 Sea $I = (0, 1]$ el intervalo unitario de la recta real. Para un número dado $a \in (0, 1)$ definimos una aplicación $T : I \to I$ mediante la fórmula \[ T (x, y) = \begin{cases} x + (1 - a),&\mbox{ if } 0< x \leq a,\\ \text{ } \\ x - a, & \mbox{ if } a < x \leq 1.\end{cases} \] Demuestre que para todo intervalo $J \subset I$ existe un entero $n > 0$ tal que $T^n(J) \cap J \neq \emptyset.$ Amir

34 Sean $\{a_n\}^{\infty}_0$ y $\{b_n\}^{\infty}_0$ dos sucesiones determinadas por las fórmulas de recursión \[a_{n+1} = a_n + b_n,\] \[ b_{n+1} = 3a_n + b_n, n= 0, 1, 2, \cdots,\] y los valores iniciales $a_0 = b_0 = 1$ . Demuestre que existe una constante $c$ determinada de manera única tal que $n|ca_n-b_n| < 2$ para todo entero no negativo $n$ .

35 Sea $P$ un polinomio con coeficientes reales tal que $P(x) > 0$ si $x > 0$ . Demuestre que existen polinomios $Q$ y $R$ con coeficientes no negativos tales que $P(x) = \frac{Q(x)}{R(x)}$ si $x > 0.$ Amir

36 Tres círculos concéntricos con centro común $O$ son cortados por una cuerda común en puntos sucesivos $A, B, C$ . Las tangentes trazadas a los círculos en los puntos $A, B, C$ encierran una región triangular. Si la distancia desde el punto $O$ a la cuerda común es igual a $p$ , demuestre que el área de la región encerrada por las tangentes es igual a \[\frac{AB \cdot BC \cdot CA}{2p}\]