Dado un grafo finito $G$, sea $f(G)$ el número de triángulos en el grafo $G$, y $g(G)$ el número de aristas en el grafo $G$. Encuentra la constante mínima $c$ tal que para todo grafo $G$ se cumpla que $f^2(G) \le c \cdot g^3(G)$.

A5 Sea $P(t)$ un polinomio no constante con coeficientes reales. Demuestra que el sistema de ecuaciones simultáneas $$ \int_{0}^{x} P(t)\sin t \, dt =0, \;\;\;\; \int_{0}^{x} P(t) \cos t \, dt =0 $$ tiene solamente un número finito de soluciones $x.$

1 Halle todos los enteros positivos $x,y$ que satisfacen: $$3^x+x^4=y!+2019.$$

2 Dos circunferencias $O_1$ y $O_2$ se intersecan en $A,B$ . El diámetro $AC$ de $\odot O_1$ interseca a $\odot O_2$ en $E$ , el diámetro $AD$ de $\odot O_2$ interseca a $\odot O_1$ en $F$ . $CF$ interseca a $O_2$ en $H$ , $DE$ interseca a $O_1$ en $G,H$ . $GH\cap O_1=P$ . Demuestre que $PH=PK$ .

En $\triangle ABC$ , $AB>AC$ . Sean $O$ e $I$ el circuncentro y el incentro respectivamente. Demuestre que si $\angle AIO = 30^{\circ}$ , entonces $\angle ABC = 60^{\circ}$ .

Un conjunto de $k$ enteros se dice que es un sistema completo de residuos módulo $k$ si no hay dos de sus elementos congruentes módulo $k$ . Halle todos los enteros positivos $m$ para los cuales existen infinitos enteros positivos $n$ tales que $\{ 1^n,2^n, \dots , m^n \}$ es un sistema completo de residuos módulo $m$ .

Halle todos los enteros positivos $a$ tales que para cualquier número de $\left \lfloor \frac{a+1}{2} \right \rfloor$ dígitos compuesto únicamente por los dígitos $0$ y $2$ (donde $0$ no puede ser el primer dígito) no sea un múltiplo de $a$ .

La función $f(x)=x^2+ \sin x$ y la sucesión de números positivos $\{ a_n \}$ satisfacen $a_1=1$ , $f(a_n)=a_{n-1}$ , donde $n \geq 2$ . Demuestre que existe un entero positivo $n$ tal que $a_1+a_2+ \dots + a_n > 2020$ .

4 $22$ matemáticos se reúnen. Cada matemático tiene al menos $3$ amigos (la amistad es mutua). Y cada matemático puede transmitir su información a cualquier matemático mediante la transferencia entre amigos. ¿Es posible dividir a estos $22$ matemáticos en grupos de $2$ personas (es decir, dos personas en cada grupo, un total de $11$ grupos), de modo que los matemáticos de cada grupo sean amigos? redacción original en chino 仃22位数学家一起开会.每位数学家都至少有3个朋友(朋友是相互的).而且每 位数学家都可以通过朋友之间的传递.将门已的资料传给任意一位数学家.问：是否一定可 以将这22位数学家两两分组(即每组两人,共11组),使得每组的数学家都是朋友？

Un entero positivo $m$ se llama entero hermoso si existe un entero positivo $n$ tal que $m = n^2 + n + 1$. Demuestra que hay infinitos enteros hermosos con factores cuadrados, y que los factores cuadrados de distintos enteros hermosos son primos relativos.