4 Sea $F$ el foco de la parábola $y^2=2px(p>0)$ , con directriz $l$ y dos puntos $A,B$ sobre ella. Sabiendo que $\angle AFB=\frac{\pi}{3}$ , halle el valor máximo de $\frac{|MN|}{|AB|}$ , donde $M$ es el punto medio de $AB$ y $N$ es la proyección de $M$ sobre $l$ .

5 Suponga que dos pirámides regulares con la misma base $ABC$ : $P-ABC$ y $Q-ABC$ están circunscritas por la misma esfera. Si el ángulo formado por una de las caras laterales y la base de la pirámide $P-ABC$ es $\frac{\pi}{4}$ , halle el valor de la tangente del ángulo formado por una de las caras laterales y la base de la pirámide $Q-ABC$ .

6 Sea $f(x)$ una función impar sobre $\mathbb{R}$ , tal que $f(x)=x^2$ cuando $x\ge 0$ . Sabiendo que para todo $x\in [a,a+2]$ se cumple la desigualdad $f(x+a)\ge 2f(x)$ , halle el rango del número real $a$ .

7 Halle la suma de todos los enteros $n$ que satisfacen la siguiente desigualdad: \[\frac{1}{4}<\sin\frac{\pi}{n}<\frac{1}{3}.\] .

8 Hay $4$ códigos distintos utilizados en una estación de inteligencia, uno de ellos aplicado en cada semana. Dos códigos cualesquiera utilizados en dos semanas adyacentes no son el mismo código. Sabiendo que el código $A$ se utiliza en la primera semana, halle la probabilidad de que el código $A$ se utilice en la séptima semana.

9 Dada una función $f(x)=a\sin x-\frac{1}{2}\cos 2x+a-\frac{3}{a}+\frac{1}{2}$ , donde $a\in\mathbb{R}, a\ne 0$ . (1) Si para cualquier $x\in\mathbb{R}$ se cumple la desigualdad $f(x)\le 0$ , halle todos los valores posibles de $a$ . (2) Si $a\ge 2$ , y existe $x\in\mathbb{R}$ tal que $f(x)\le 0$ . Halle todos los valores posibles de $a$ .

10 Dada una sucesión $\{a_n\}$ cuyos términos son números reales no nulos. Para cualquier entero positivo $n$ , se cumple la igualdad \[(\sum_{i=1}^{n}a_i)^2=\sum_{i=1}^{n}a_i^3\] . (1) Si $n=3$ , halle todas las sucesiones posibles $a_1,a_2,a_3$ ; (2) ¿Existe tal sucesión $\{a_n\}$ tal que $a_{2011}=-2012$ ?

11 En el plano cartesiano $XOY$ , hay un rombo $ABCD$ cuyas longitudes de lado son todas $4$ y $|OB|=|OD|=6$ , donde $O$ es el origen. (1) Demuestre que $|OA|\cdot |OB|$ es una constante. (2) Halle el lugar geométrico de $C$ si $A$ es un punto sobre el semicírculo \[(x-2)^2+y^2=4 \quad (2\le x\le 4).\] .

1 En un triángulo acutángulo $ABC$ , $AB>AC$ . $M,N$ son puntos distintos sobre el lado $BC$ tales que $\angle BAM=\angle CAN$ . Sean $O_1,O_2$ los circuncentros de $\triangle ABC, \triangle AMN$ , respectivamente. Demuestre que $O_1,O_2,A$ son colineales.

2 En $\triangle ABC$ , los lados correspondientes a los ángulos $A,B,C$ son $a,b,c$ respectivamente. Si $a\cos B-b\cos A=\frac{3}{5}c$ , halle el valor de $\frac{\tan A}{\tan B}$ .