5 En una hoja de papel en blanco, se dan dos puntos con distancia $1$ . Demuestre que se puede usar (solamente) regla y compás para construir en este papel una recta, y dos puntos sobre ella cuya distancia sea $\sqrt{2021}$ , de modo que, en el proceso de construcción, el número total de círculos o rectas trazados sea a lo sumo $10.$ Observación: Deben darse los pasos explícitos de la construcción. Etiquete los círculos y las rectas en el orden en que aparecen. Se puede otorgar crédito parcial dependiendo del número total de círculos/rectas.

6 Para enteros $0\le a\le n$ , sea $f(n,a)$ el número de coeficientes del desarrollo de $(x+1)^a(x+2)^{n-a}$ que son divisibles por $3.$ Por ejemplo, $(x+1)^3(x+2)^1=x^4+5x^3+9x^2+7x+2$ , por lo que $f(4,3)=1$ . Para cada entero positivo $n$ , sea $F(n)$ el mínimo de $f(n,0),f(n,1),\ldots ,f(n,n)$ . (1) Demuestre que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que $F(n)\ge \frac{n-1}{3}$ . (2) Demuestre que para cualquier entero positivo $n$ , $F(n)\le \frac{n-1}{3}$ .

1 Sea $\{ z_n \}_{n \ge 1}$ una sucesión de números complejos, cuyos términos impares son reales, los términos pares son imaginarios puros, y para cada entero positivo $k$ , $|z_k z_{k+1}|=2^k$ . Denote $f_n=|z_1+z_2+\cdots+z_n|,$ para $n=1,2,\cdots$ (1) Halle el mínimo de $f_{2020}$ . (2) Halle el mínimo de $f_{2020} \cdot f_{2021}$ .

2 Sea $m>1$ un entero. Halle el menor entero positivo $n$ tal que para cualesquiera enteros $a_1,a_2,\ldots ,a_n; b_1,b_2,\ldots ,b_n$ existen enteros $x_1,x_2,\ldots ,x_n$ que satisfacen las dos condiciones siguientes: i) Existe $i\in \{1,2,\ldots ,n\}$ tal que $x_i$ y $m$ son coprimos ii) $\sum^n_{i=1} a_ix_i \equiv \sum^n_{i=1} b_ix_i \equiv 0 \pmod m$

3 Sea $n$ un entero positivo tal que hay exactamente 36 números primos distintos que dividen a $n.$ Para $k=1,2,3,4,5,$ sea $c_n$ el número de enteros coprimos con $n$ en el intervalo $[\frac{(k-1)n}{5},\frac{kn}{5}] .$ $c_1,c_2,c_3,c_4,c_5$ no son exactamente iguales. Demuestre que $$\sum_{1\le i<j\le 5}(c_i-c_j)^2\geq 2^{36}.$$

4 En el triángulo acutángulo $ABC (AB>AC)$ , $M$ es el punto medio del arco menor $BC$ , $O$ es el circuncentro de $(ABC)$ y $AK$ es su diámetro. La recta paralela a $AM$ que pasa por $O$ interseca al segmento $AB$ en $D$ , y a la prolongación de $CA$ en $E$ . Las rectas $BM$ y $CK$ se cortan en $P$ , las rectas $BK$ y $CM$ se cortan en $Q$ . Demuestre que $\angle OPB+\angle OEB =\angle OQC+\angle ODC$ .

5 $P$ es un poliedro convexo tal que: (1) cada vértice pertenece exactamente a $3$ caras. (1) Para todo número natural $n$ , hay un número par de caras con $n$ vértices. Una hormiga camina a lo largo de las aristas de $P$ y forma un ciclo sin autointersecciones, que divide las caras de este poliedro en dos lados, de modo que para todo número natural $n$ , el número de caras con $n$ vértices en cada lado es el mismo. (suponga que esto es posible) Demuestre que el número de veces que la hormiga gira a la izquierda es igual al número de veces que la hormiga gira a la derecha.

6 Halle $f: \mathbb{Z}_+ \rightarrow \mathbb{Z}_+$ tal que para cualesquiera $x,y \in \mathbb{Z}_+$ , $$f(f(x)+y)\mid x+f(y).$$

1 Sean $a_1,a_2,\cdots,a_{41}\in\mathbb{R},$ tales que $a_{41}=a_1, \sum_{i=1}^{40}a_i=0,$ y para cualquier $i=1,2,\cdots,40, |a_i-a_{i+1}|\leq 1.$ Determine el mayor valor posible de $(1)a_{10}+a_{20}+a_{30}+a_{40};$ $(2)a_{10}\cdot a_{20}+a_{30}\cdot a_{40}.$

2 En el triángulo $ABC$ , $AB>AC.$ La bisectriz de $\angle BAC$ interseca a $BC$ en $D.$ $P$ está en la recta $DA,$ tal que $A$ se encuentra entre $P$ y $D$ . $PQ$ es tangente a $\odot(ABD)$ en $Q.$ $PR$ es tangente a $\odot(ACD)$ en $R.$ $CQ$ interseca a $BR$ en $K.$ La recta paralela a $BC$ que pasa por $K$ interseca a $QD,AD,RD$ en $E,L,F,$ respectivamente. Demuestre que $EL=KF.$