Demuestre que: las $3$ simedianas de un triángulo son concurrentes en un punto; el punto de concurrencia se llama punto de Lemoine del triángulo dado.

Sea un triángulo $ABC$ isósceles en $A.$ Un punto $P$ situado en el interior del triángulo tal que $\angle PBC=\angle PCA$ y sea $M$ el punto medio de $BC.$ Demuestre que: $\angle APB+ \angle MPC =180^{\circ}.$

a) Sea un triángulo $ABC$ con $\angle BAC=90^{\circ}$ y la altura $AH(H$ está sobre el lado $BC).$ Demuestre que: el punto de Lemoine del triángulo $ABC$ es el punto medio de $AH.$ b) Si el punto de Lemoine de un triángulo es el punto medio de $1$ de los $3$ segmentos de simediana, ¿debe ese triángulo ser un triángulo rectángulo? Explique por qué.

Sea un triángulo $ABC$ con simedianas $BE,CF(E,F$ están sobre los lados $CA,AB,$ respectivamente $)$ que se intersectan en el punto de Lemoine $L.$ Demuestre que: $AB=AC$ en cada caso: a) $LB=LC.$ b) $BE=CF.$

Sea un triángulo $ABC$ con simedianas $AD,BE,CF$ concurrentes en el punto de Lemoine $L(D,E,F$ están sobre los lados $BC,CA,AB,$ respectivamente $).$ Demuestre que: $LA+LB+LC\ge 2(LD+LE+LF).$

Sea un cuadrilátero $ABCD$ inscrito en $(O)$ . Sean $L, J$ los puntos de Lemoine de $\triangle ABC$ y $\triangle ACD$ . Demuestre que: $AC, BD, LJ$ son concurrentes.

Sea un triángulo $ABC$ con punto de Lemoine $L.$ Elija puntos $X,Y,Z$ sobre los segmentos $LA,LB,LC,$ respectivamente, tales que: $$\angle XBA=\angle YAB,\angle XCA=\angle ZAC.$$ Demuestre que: $\angle ZBC=\angle YCB.$

Sea un triángulo $ABC$ inscrito en $(O)$ con $2$ simedianas $AD, CF(D,F$ están sobre los lados $BC, AB,$ respectivamente $).$ El rayo $DF$ intersecta a $(O)$ en $P.$ La recta que pasa por $P$ y es perpendicular a $OA$ intersecta a $AB,AC$ en $Q,R,$ respectivamente $.$ Calcule la razón $\dfrac{PR}{PQ}.$

Demuestre que el polinomio $$P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)-1$$ es irreducible en $\mathbb{Z}[x].$

a) Sea un número primo $p$ y $2$ polinomios $$P(x)=a_nx^n+...+a_1x+a_0; Q(x)=b_mx^m+...+b_1x+b_0.$$ Sabemos que el producto $P(x)Q(x)$ es un polinomio cuyos coeficientes son todos divisibles por $p.$ Demuestre que: al menos $1$ de los $2$ polinomios $P(x),Q(x)$ tiene todos sus coeficientes divisibles por $p.$ b) Demuestre que el producto de $2$ polinomios primitivos es un polinomio primitivo.