1 Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones en enteros positivos \[\left\{\begin{array}{cc}a^3-b^3-c^3=3abc\\ \\ a^2=2(b+c)\end{array}\right.\] Amir

2 Sea $f$ una función real definida en el intervalo $[0, +\infty )$ y suponga que existen dos funciones $f', f''$ en el intervalo $[0, +\infty )$ tales que \[f''(x)=\frac{1}{x^2+f'(x)^2 +1} \qquad \text{and} \qquad f(0)=f'(0)=0.\] Sea $g$ una función para la cual \[g(0)=0 \qquad \text{and} \qquad g(x)=\frac{f(x)}{x}.\] Demuestre que $g$ está acotada. Amir

3 En el siguiente diagrama, sea $ABCD$ un cuadrado y sean $M,N,P$ y $Q$ los puntos medios de sus lados. Demuestre que \[S_{A'B'C'D'} = \frac 15 S_{ABCD}.\] [asy] import graph; size(200); real lsf = 0.5; pen dp = linewidth(0.7) + fontsize(10); defaultpen(dp); pen ds = black; pen qqttzz = rgb(0,0.2,0.6); pen qqzzff = rgb(0,0.6,1); draw((0,4)--(4,4),qqttzz+linewidth(1.6pt)); draw((4,4)--(4,0),qqttzz+linewidth(1.6pt)); draw((4,0)--(0,0),qqttzz+linewidth(1.6pt)); draw((0,0)--(0,4),qqttzz+linewidth(1.6pt)); draw((0,4)--(2,0),qqzzff+linewidth(1.2pt)); draw((2,4)--(4,0),qqzzff+linewidth(1.2pt)); draw((0,2)--(4,4),qqzzff+linewidth(1.2pt)); draw((0,0)--(4,2),qqzzff+linewidth(1.2pt)); dot((0,4),ds); label("$A$", (0.07,4.12), NE*lsf); dot((0,0),ds); label("$D$", (-0.27,-0.37), NE*lsf); dot((4,0),ds); label("$C$", (4.14,-0.39), NE*lsf); dot((4,4),ds); label("$B$", (4.08,4.12), NE*lsf); dot((2,4),ds); label("$M$", (2.08,4.12), NE*lsf); dot((4,2),ds); label("$N$", (4.2,1.98), NE*lsf); dot((2,0),ds); label("$P$", (1.99,-0.49), NE*lsf); dot((0,2),ds); label("$Q$", (-0.48,1.9), NE*lsf); dot((0.8,2.4),ds); label("$A'$", (0.81,2.61), NE*lsf); dot((2.4,3.2),ds); label("$B'$", (2.46,3.47), NE*lsf); dot((3.2,1.6),ds); label("$C'$", (3.22,1.9), NE*lsf); dot((1.6,0.8),ds); label("$D'$", (1.14,0.79), NE*lsf); clip((-4.44,-11.2)--(-4.44,6.41)--(16.48,6.41)--(16.48,-11.2)--cycle); [/asy] [ $S_{X}$ denota el área de $X.$ ] Amir

1 Calcule el producto: \[A=\sin 1^\circ \times \sin 2^\circ \times \sin 3^\circ \times \cdots \times \sin 89^\circ\] Amir

2 Halle todas las funciones continuas $f: \mathbb R \to \mathbb R$ tales que \[f(x^2-y^2)=f(x)^2 + f(y)^2, \quad \forall x,y \in \mathbb R.\] Amir

2 $A=1\cdot4\cdot7\cdots2014$ . Halle el último dígito no nulo de $A$ si se sabe que $A\equiv 1\mod3$ .

3 Sean $L_1, L_2, L_3, L_4$ cuatro rectas en el espacio tales que no hay tres de ellas en el mismo plano. Suponga que $L_1, L_2$ se cortan en $A$ , que $L_2,L_3$ se cortan en $B$ y que $L_3, L_4$ se cortan en $C.$ Halle el número mínimo y el número máximo de rectas en el espacio que cortan a $L_1, L_2, L_3$ y $L_4.$ Justifique su respuesta. Amir

1 Sea $f$ una función tal que \[f(x)=\frac{(x^2-2x+1) \sin \frac{1}{x-1}}{\sin \pi x}.\] Halle el límite de $f$ en el punto $x_0=1.$ Amir

2 (a) Trace la gráfica de la función $f$ si \[f(x)=4x(1-|x|) , \quad |x| \leq 1.\] (b) ¿Existe la derivada de $f$ en el punto $x=0 \ ?$ (c) Sea $g$ una función tal que \[g(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{f(x)}{x} \quad : x \neq 0\\ \text{ } \\ 4 \ \ \ \ \quad : x=0\end{array}\right.\] ¿Es la función $g$ continua en el punto $x=0 \ ?$ (d) Trace la gráfica de $g.$ Amir

3 Halle el entero positivo más pequeño tal que, al mover el último dígito de la derecha del número hacia la izquierda, el número resultante sea $\frac 32$ veces el número original. Amir