2 Las diagonales de un cuadrilátero cíclico $ABCD$ se cortan en $O$ . Sean $S_1, S_2$ las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABO$ y $CDO$ , respectivamente, y sean $O,K$ sus puntos de intersección. Las rectas que pasan por $O$ paralelas a $AB$ y $CD$ cortan de nuevo a $S_1$ y $S_2$ en $L$ y $M$ , respectivamente. Se toman puntos $P$ y $Q$ sobre los segmentos $OL$ y $OM$ , respectivamente, tales que $OP : PL = MQ : QO$ . Demuestre que $O,K, P,Q$ están sobre una circunferencia.

5 Sea $\vartriangle ABC$ un triángulo isósceles con $AC = BC$ . Se consideran los puntos $D, E, F$ en $BC, CA, AB$ , respectivamente, tales que $AF> BF$ y que el cuadrilátero $CEFD$ es un paralelogramo. La recta perpendicular a $BC$ trazada por $B$ interseca a la mediatriz de $AB$ en $G$ . Demuestre que $DE \perp FG$ .

2018 g6 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$ y $AB \ne AC$ . Sean $D$ y $E$ los puntos de intersección de $BH$ y $CH$ con las rectas $AC$ y $AB$ respectivamente, y sea $P$ el pie de la perpendicular trazada desde $A$ sobre $DE$ . La circunferencia circunscrita del triángulo $BPC$ interseca a $DE$ en un punto $Q \ne P$ . Demuestre que las rectas $AP$ y $QH$ se intersecan sobre la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ .

11 El cúmulo estelar JMO inicialmente consta de cinco estrellas $O,A,B,C,D$. A cada estrella se le asigna un valor llamado su "importancia". La importancia de $O$ es $0$, y la importancia de cada una de $A,B,C,D$ es $1$. Hay vuelos directos de un solo sentido como sigue: de $O$ a $A$ y $C$; de $A$ a $B$ y $D$; de $B$ a $O$; de $C$ a $B$ y $D$; de $D$ a $O$. No hay otros vuelos directos. Para evitar el deterioro, se realiza repetidamente la siguiente operación: $1.$ Se eliminan todos los vuelos directos existentes, y se destruyen todas las estrellas. $2.$ Para cada vuelo directo eliminado $f$, se crea una nueva estrella $S_f$. Su importancia se define como la suma de las importancias de la estrella de salida y la estrella de llegada de $f$. $3.$ Para cada par ordenado $(f,f')$ de vuelos directos eliminados tal que la estrella de llegada de $f$ coincide con la estrella de salida de $f'$, se establece un vuelo directo de un solo sentido desde $S_f$ a $S_{f'}$. Encuentra la importancia total de las estrellas creadas en la operación número $100$.

3 Encuentra todos los polinomios $P(x)$ con coeficientes reales tales que \[P(P(x))=(x^2+x+1)\cdot P(x)\] donde $x \in \mathbb{R}$

6 Lucy comienza escribiendo $s$ tuplas de enteros de $2022$ - componentes en una pizarra. Después de hacer eso, puede tomar dos tuplas cualesquiera (no necesariamente distintas) $\mathbf{v}=(v_1,\ldots,v_{2022})$ y $\mathbf{w}=(w_1,\ldots,w_{2022})$ que ya haya escrito, y aplicar una de las siguientes operaciones para obtener una nueva tupla: \begin{align*} \mathbf{v}+\mathbf{w}&=(v_1+w_1,\ldots,v_{2022}+w_{2022}) \\ \mathbf{v} \lor \mathbf{w}&=(\max(v_1,w_1),\ldots,\max(v_{2022},w_{2022})) \end{align*} y luego escribir esta tupla en la pizarra. Resulta que, de esta manera, Lucy puede escribir cualquier tupla de enteros de $2022$ - componentes en la pizarra tras un número finito de pasos. ¿Cuál es el menor número posible $s$ de tuplas que escribió inicialmente?

2018 g8 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncentro $O$ , y sea $D$ el punto medio del segmento $OA$ . La circunferencia circunscrita del triángulo $BOC$ corta nuevamente a las rectas $AB$ y $AC$ en los puntos $E$ y $F$ respectivamente, con $E \ne B$ y $F \ne C$ . Suponga que las rectas $OF$ y $AB$ se intersecan en $G$ , y que las rectas $OE$ y $AC$ se intersecan en $H$ . La circunferencia circunscrita del triángulo $GDH$ interseca nuevamente a las rectas $AB$ y $AC$ en los puntos $M$ y $N$ respectivamente. Demuestre que $A$ y los puntos de intersección de $MN$ con $GH$ y de $AB$ con $EF$ son colineales. Redacción alternativa: Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncentro $O$ , y sea $D$ el punto medio del segmento $ OA$ . La circunferencia circunscrita del triángulo $BOC$ corta nuevamente a las rectas $AB$ y $AC$ en los puntos $E$ y $F$ respectivamente, con $E \ne B$ y $F \ne C$ . Suponga que las rectas $OF$ y $AB$ se intersecan en $G$ , y que las rectas $OE$ y $AC$ se intersecan en $H$ . La circunferencia circunscrita del triángulo $GDH$ interseca nuevamente a las rectas $AB$ y $AC$ en los puntos $M$ y $N$ respectivamente. Sea $J$ el otro punto de intersección de las circunferencias circunscritas de los triángulos $AEF$ y $ABC$ . Demuestre que $A$ , $J$ y el punto de intersección de $MN$ con $GH$ son colineales.

El número natural \( M \) tiene \( 6 \) divisores, y la suma de ellos es igual a \( 3500 \). Encuentra todos los valores de \( M \).

4 Inicialmente en el pizarrón están escritos todos los enteros del $1$ al $2002$ inclusive, en una línea y en algún orden, sin repeticiones. En cada paso, se borran el primer y el segundo número de la línea y se escribe al comienzo de la línea el valor absoluto de la resta de los dos números que se acaban de borrar; los demás números no se modifican en ese paso, y se tiene una nueva línea que tiene un número menos que en el paso anterior. Después de completar $2001$ pasos, queda solo un número en el pizarrón. Determine todos los valores posibles del número que queda en el pizarrón al variar el orden de los $2002$ números de la línea inicial (y realizar los $2001$ pasos).

76 Poldavia es un reino extraño. Su unidad monetaria es el bourbaki y solo existen dos tipos de monedas: unas de oro y unas de plata. Cada moneda de oro vale $ n$ bourbakis y cada moneda de plata vale $ m$ bourbakis ( $ n$ y $ m$ son enteros positivos). Usando monedas de oro y plata, es posible obtener sumas tales como 10000 bourbakis, 1875 bourbakis, 3072 bourbakis, y así sucesivamente. Pero el sistema monetario de Poldavia no es tan extraño como parece: (a) Demuestre que es posible comprar cualquier cosa que cueste un número entero de bourbakis, siempre que se pueda recibir cambio. (b) Demuestre que cualquier pago superior a $ mn-2$ bourbakis puede hacerse sin necesidad de recibir cambio.