66 Sea $C$ un cubo con aristas de longitud 2. Construye un sólido de catorce caras cortando las ocho esquinas de $C$, manteniendo las nuevas caras perpendiculares a las diagonales del cubo, y manteniendo las caras recién formadas idénticas. Si al final de este proceso las catorce caras tienen la misma área, encuentra el área de cada cara del nuevo sólido.

67 Para cada entero positivo $ k$ y $ n,$ sea $ S_k(n)$ la suma de los dígitos de $ n$ en base $ k.$ Demuestra que hay a lo más dos primos $ p$ menores que $20,000$ para los cuales $ S_{31}(p)$ son números compuestos con al menos dos divisores primos distintos.

68 En un grupo de $n$ personas, cada una conoce exactamente a otras tres. Se sientan alrededor de una mesa. Decimos que la disposición es $perfecta$ si cada persona conoce a las dos que están sentadas a sus lados. Demuestra que, si existe una disposición perfecta $S$ para el grupo, entonces siempre hay otra disposición perfecta que no se puede obtener de $S$ por rotación o reflexión.

69 Sea \( Q \) el centro de la circunferencia inscrita de un triángulo \( ABC \). Demuestra que para cualquier punto \( P \), \[ a(PA)^2 + b(PB)^2 + c(PC)^2 = a(QA)^2 + b(QB)^2 + c(QC)^2 + (a + b + c)(QP)^2, \] donde \( a = BC \), \( b = CA \) y \( c = AB \).

70 $ABC$ es un triángulo, con inradio $r$ y circunradio $R.$ Demuestra que: \[ \sin \left( \frac{A}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{B}{2} \right) + \sin \left( \frac{B}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{C}{2} \right) + \sin \left( \frac{C}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{A}{2} \right) \leq \frac{5}{8} + \frac{r}{4 \cdot R}. \]

El cuadrilátero \(A_1A_2A_3A_4\) es cíclico, y sus lados son \(a_1 = A_1A_2, a_2 = A_2A_3, a_3 = A_3A_4\) y \(a_4 = A_4A_1.\) Los respectivos círculos con centros \(I_i\) y radios \(r_i\) son tangentes externamente a cada lado \(a_i\) y a las prolongaciones de los lados \(a_{i+1}\) y \(a_{i-1}\). ( \(a_0 = a_4\) ). Demuestra que \[ \prod^4_{i=1} \frac{a_i}{r_i} = 4 \cdot (\csc (A_1) + \csc (A_2) )^2. \]

72 Considera $h+1$ tableros de ajedrez. Numera los cuadrados de cada tablero del 1 al 64 de tal manera que cuando los perímetros de cualesquiera dos tableros de la colección se hagan coincidir de cualquier manera posible, no haya dos cuadrados en la misma posición que tengan el mismo número. ¿Cuál es el valor máximo de $h$?

73 Un juego de dos personas se juega con nueve cajas dispuestas en un cuadrado de \(3 \times 3\) y con piedras blancas y negras. En cada movimiento un jugador pone tres piedras, no necesariamente del mismo color, en tres cajas que estén en una línea horizontal o vertical. Ninguna caja puede contener piedras de colores distintos: si, por ejemplo, un jugador pone una piedra blanca en una caja que contiene piedras negras, la piedra blanca y una de las piedras negras se retiran de la caja. El juego termina cuando la caja central y las cajas de las esquinas contienen una piedra negra cada una y las demás cajas están vacías. En una etapa del juego \(x\) cajas contenían una piedra negra cada una y las demás cajas estaban vacías. Determina todos los valores posibles para \(x.\)

74 Sea $ \{a_k\}^{\infty}_1$ una sucesión de números reales no negativos tal que: \[ a_k - 2 a_{k + 1} + a_{k + 2} \geq 0 \] y $ \sum^k_{j = 1} a_j \leq 1$ para todo $ k = 1,2, \ldots$ . Demuestra que: \[ 0 \leq a_{k} - a_{k + 1} < \frac {2}{k^2} \] para todo $ k = 1,2, \ldots$ .

75 Sea $S$ un conjunto infinito de enteros que contiene al cero, y tal que las distancias entre números sucesivos nunca exceden un número fijo dado. Considera el siguiente procedimiento: Dado un conjunto $X$ de enteros, construimos un nuevo conjunto formado por todos los números $x \pm s,$ donde $x$ pertenece a $X$ y $s$ pertenece a $S.$ Partiendo de $S_0 = \{0\}$ construimos sucesivamente los conjuntos $S_1, S_2, S_3, \ldots$ usando este procedimiento. Demuestra que después de un número finito de pasos no obtenemos ningún conjunto nuevo, es decir, $S_k = S_{k_0}$ para $k \geq k_0.$