1 Sean $ABC$ y $ABD$ triángulos coplanarios con perímetros iguales. Las rectas de apoyo de las bisectrices interiores de los ángulos $CAD$ y $CBD$ se cortan en $P$ . Demuestre que los ángulos $APC$ y $BPD$ son congruentes.

2 Dado un entero $k \geq 2$ , determine el mayor número de divisores que el coeficiente binomial $\binom{n}{k}$ puede tener en el rango $n-k+1, \ldots, n$ , cuando $n$ recorre los enteros mayores o iguales que $k$ .

3 Sea $n$ un entero positivo . Si $\sigma$ es una permutación de los primeros $n$ enteros positivos , sea $S(\sigma)$ el conjunto de todas las sumas distintas de la forma $\sum_{i=k}^{l} \sigma(i)$ donde $1 \leq k \leq l \leq n$ . (a) Exhiba una permutación $\sigma$ de los primeros $n$ enteros positivos tal que $|S(\sigma)|\geq \left \lfloor{\frac{(n+1)^2}{4}}\right \rfloor $ . (b) Demuestre que $|S(\sigma)|>\frac{n\sqrt{n}}{4\sqrt{2}}$ para todas las permutaciones $\sigma$ de los primeros $n$ enteros positivos .

1 Sea $ABC$ un triángulo. Sean $P_1$ y $P_2$ puntos sobre el lado $AB$ tales que $P_2$ se encuentra en el segmento $BP_1$ y $AP_1 = BP_2$ ; análogamente, sean $Q_1$ y $Q_2$ puntos sobre el lado $BC$ tales que $Q_2$ se encuentra en el segmento $BQ_1$ y $BQ_1 = CQ_2$ . Los segmentos $P_1Q_2$ y $P_2Q_1$ se cortan en $R$ , y las circunferencias $P_1P_2R$ y $Q_1Q_2R$ se cortan nuevamente en $S$ , situado en el interior del triángulo $P_1Q_1R$ . Finalmente, sea $M$ el punto medio del lado $AC$ . Demuestre que los ángulos $P_1RS$ y $Q_1RM$ son iguales.

2 Sea $n$ un entero mayor que $1$ , y sea $p$ un divisor primo de $n$ . Una confederación consta de $p$ estados, cada uno de los cuales tiene exactamente $n$ aeropuertos. Hay $p$ compañías aéreas que operan únicamente vuelos interestatales, de modo que cada dos aeropuertos situados en estados distintos están unidos por un vuelo directo (de ida y vuelta) operado por una de estas compañías. Determine el entero máximo $N$ que satisface la siguiente condición: En toda confederación de este tipo es posible elegir una de las $p$ compañías aéreas y $N$ de los $np$ aeropuertos, de modo que se pueda viajar (no necesariamente de forma directa) desde cualquiera de los $N$ aeropuertos elegidos hasta cualquier otro de ellos únicamente mediante vuelos operados por la compañía aérea elegida.

3 Defina una sucesión de enteros mediante $a_0=1$ , y $a_n=\sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k}a_k$ , $n \geq 1$ . Sea $m$ un entero positivo , sea $p$ un número primo , y sean $q$ y $r$ enteros no negativos . Demuestre que : $$a_{p^mq+r} \equiv a_{p^{m-1}q+r} \pmod{p^m}$$

3: Sean $M_1, M_2, . . ., M_{11}$ conjuntos de $5-$ elementos tales que $M_i \cap M_j \neq {\O}$ para todos $i, j \in \{1, . . ., 11\}$ . Determine el valor mínimo posible del mayor número de los conjuntos dados que tienen intersección no vacía.

4: Considere un tetraedro $ A_1A_2A_3A_4$ . Se dice que un punto $N$ es un punto de Servais si sus proyecciones sobre las seis aristas del tetraedro están en un plano $\alpha(N)$ (llamado plano de Servais). Demuestre que si los seis puntos $Nij$ simétricos de un punto $M$ con respecto a los puntos medios $Bij$ de las aristas $A_iA_j$ son puntos de Servais, entonces $M$ está contenido en todos los planos de Servais $\alpha(Nij )$

1: Sea $ X_n=\{1,2,...,n\}$ , donde $ n \geq 3$ . Definimos la medida $ m(X)$ de $ X\subset X_n$ como la suma de sus elementos. (Si $ |X|=0$ , entonces $ m(X)=0$ ) . Se dice que un conjunto $ X \subset X_n$ es par (resp. impar) si $ m(X)$ es par (resp. impar). (a)Demuestre que el número de conjuntos pares es igual al número de conjuntos impares. (b)Demuestre que la suma de las medidas de los conjuntos pares es igual a la suma de las medidas de los conjuntos impares. (c)Calcule la suma de las medidas de los conjuntos impares.

2: Sea $ n$ un entero positivo impar. Demuestre que $((n-1)^n+1)^2$ divide a $ n(n-1)^{(n-1)^n+1}+n$ .