5 Un entero $n\ge1$ es bueno si se satisface la siguiente propiedad: Si un entero positivo es divisible por cada uno de los nueve números $n + 1, n + 2, ..., n + 9$ , también es divisible por $n + 10$ . ¿Cuántos enteros buenos $n\ge 1$ hay?

3 Los puntos $D, E, F$ están respectivamente sobre los lados $BC$ , $CA$ , $AB$ del triángulo ABC tales que $F B = BD$ , $DC = CE$ , y las rectas $EF$ y $BC$ son paralelas. La tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $DEF$ en el punto $F$ interseca a la recta $AD$ en el punto $P$ . La mediatriz del segmento $EF$ interseca al segmento $AC$ en $Q$ . Demuestre que las rectas $P Q$ y $BC$ son paralelas.

1 Determine el mayor valor posible de la expresión $ab+bc+ 2ac$ para números reales no negativos $a, b, c$ cuya suma es $1$ .

4 Examinamos las siguientes dos sucesiones: La sucesión de Fibonacci: $F_{0}= 0, F_{1}= 1, F_{n}= F_{n-1}+F_{n-2 }$ para $n \geq 2$ ; La sucesión de Lucas: $L_{0}= 2, L_{1}= 1, L_{n}= L_{n-1}+L_{n-2}$ para $n \geq 2$ . Se sabe que para todo $n \geq 0$ \[F_{n}=\frac{\alpha^{n}-\beta^{n}}{\sqrt{5}},L_{n}=\alpha^{n}+\beta^{n},\] donde $\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\beta=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ . Estas fórmulas pueden usarse sin demostración. Demuestre que $F_{n-1}F_{n}F_{n+1}L_{n-1}L_{n}L_{n+1}(n \geq 2)$ no es un cuadrado perfecto. N.T.TUAN

C2 Sea $\mathcal{F}$ el conjunto de todas las funciones $f : \mathcal{P}(S) \longrightarrow \mathbb{R}$ tales que para todos $X, Y \subseteq S$, se tiene $f(X \cap Y) = \min (f(X), f(Y))$, donde $S$ es un conjunto finito (y $\mathcal{P}(S)$ es el conjunto de sus subconjuntos). Encuentra \[\max_{f \in \mathcal{F}}| \textrm{Im}(f) |. \] Valentin

3 Demuestre que si $n$ es un entero positivo, entonces $2 (n^2 + 1) - n$ no es el cuadrado de un entero.

4 Se da un rombo $ABCD$ con $\angle BAD = 60^o$ . El punto $P$ está dentro del rombo tal que $BP = 1$ , $DP = 2$ , $CP = 3$ . Determine la longitud del segmento $AP$ .

5 Halle todas las ternas $(a, k, m)$ de enteros positivos que satisfacen la ecuación $k + a^k = m + 2a^m$ .

6 El tablero de $8 \times 8$ se cubre con la misma figura que se muestra en la imagen de la derecha (cada una de las figuras puede rotarse $90^o$ ) de modo que cualesquiera dos no se superpongan ni se extiendan más allá del borde del tablero de ajedrez. Determine el mayor número posible de casillas de este tablero de ajedrez que pueden cubrirse como se describió anteriormente. https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/e/5/d7f44f37857eb115edad5ea26400cdca04e107.png

1 Se da un arreglo de $2 \times 2$ con un entero positivo en cada casilla. Si sumamos el producto de los números de la primera columna, el producto de los números de la segunda columna, el producto de los números de la primera fila y el producto de los números de la segunda fila, obtenemos $2021$ . a) Halle los valores posibles de la suma de los cuatro números de la tabla. b) Halle el número de arreglos distintos que satisfacen las condiciones dadas y que contienen cuatro números distintos dos a dos.