G6 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con altura $\overline{AH}$ , y sea $P$ un punto variable tal que las bisectrices $k$ y $\ell$ de los ángulos $\angle PBC$ y $\angle PCB$ , respectivamente, se cortan sobre $\overline{AH}$ . La recta $k$ corta a $\overline{AC}$ en $E$ , $\ell$ corta a $\overline{AB}$ en $F$ y $\overline{EF}$ corta a $\overline{AH}$ en $Q$ . Demuestre que cuando $P$ varía, la recta $PQ$ pasa por un punto fijo.

G7 Dos triángulos $ABC, A’B’C’$ tienen el mismo ortocentro $H$ y la misma circunferencia circunscrita con centro $O$ . Siendo $PQR$ el triángulo formado por $AA’, BB’, CC’$ , demuestre que el circuncentro de $PQR$ está sobre $OH$ .

N5 Para cada $1\leq i\leq 9$ y $T\in\mathbb N$ , defina $d_i(T)$ como el número total de veces que aparece el dígito $i$ cuando todos los múltiplos de $1829$ entre $1$ y $T$ inclusive se escriben en base $10$ . Demuestre que existen infinitos $T\in\mathbb N$ tales que hay exactamente dos valores distintos entre $d_1(T)$ , $d_2(T)$ , $\dots$ , $d_9(T)$ .

N4 Halle todas las ternas $(a,b,p)$ de enteros positivos con $p$ primo y \[ a^p=b!+p. \]

N8 Demuestre que $5^n-3^n$ no es divisible por $2^n+65$ para ningún entero positivo $n$ .

1 El entero $ 9$ puede escribirse como suma de dos enteros consecutivos: $ 9 = 4+5.$ Además, puede escribirse como suma de (más de un) enteros positivos consecutivos de exactamente dos maneras: $ 9 = 4+5 = 2+3+4.$ ¿Existe un entero que pueda escribirse como suma de $ 1990$ enteros consecutivos y que pueda escribirse como suma de (más de un) enteros positivos consecutivos de exactamente $ 1990$ maneras? Fermat -Euler

3 Sea $ n \geq 3$ y considere un conjunto $ E$ de $ 2n - 1$ puntos distintos sobre una circunferencia. Suponga que exactamente $ k$ de estos puntos deben colorearse de negro. Tal coloración es buena si existe al menos un par de puntos negros tal que el interior de uno de los arcos entre ellos contiene exactamente $ n$ puntos de $ E$ . Halle el menor valor de $ k$ para el cual toda coloración de $ k$ puntos de $ E$ es buena.

4 Suponga que el conjunto de todos los enteros positivos se descompone en $ r$ subconjuntos (disjuntos) $ A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_r = \mathbb{N}.$ Demuestre que uno de ellos, digamos $ A_i,$ tiene la siguiente propiedad: existe un $ m$ positivo tal que para cualquier $ k$ se pueden encontrar números $ a_1, a_2, \ldots, a_k$ en $ A_i$ con $ 0 < a_{j + 1} - a_j \leq m,$ $ (1 \leq j \leq k - 1)$ .

5 Dado un triángulo $ ABC$ . Sean $ G$ , $ I$ , $ H$ el baricentro, el incentro y el ortocentro del triángulo $ ABC$ , respectivamente. Demuestre que $ \angle GIH > 90^{\circ}$ .

6 Dado un entero inicial $ n_0 > 1$ , dos jugadores, $ {\mathcal A}$ y $ {\mathcal B}$ , eligen enteros $ n_1$ , $ n_2$ , $ n_3$ , $ \ldots$ alternadamente de acuerdo con las siguientes reglas: I.) Conociendo $ n_{2k}$ , $ {\mathcal A}$ elige cualquier entero $ n_{2k + 1}$ tal que \[ n_{2k} \leq n_{2k + 1} \leq n_{2k}^2. \] II.) Conociendo $ n_{2k + 1}$ , $ {\mathcal B}$ elige cualquier entero $ n_{2k + 2}$ tal que \[ \frac {n_{2k + 1}}{n_{2k + 2}} \] es un primo elevado a una potencia entera positiva. El jugador $ {\mathcal A}$ gana la partida eligiendo el número 1990; el jugador $ {\mathcal B}$ gana eligiendo el número 1. ¿Para cuáles $ n_0$ : a.) $ {\mathcal A}$ tiene una estrategia ganadora? b.) $ {\mathcal B}$ tiene una estrategia ganadora? c.) Ninguno de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora?