1 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. Las rectas $BC$ y $AD$ se cortan en un punto $P$ . Sea $Q$ el punto sobre la recta $BP$ , distinto de $B$ , tal que $PQ=BP$ . Considere los paralelogramos $CAQR$ y $DBCS$ . Demuestre que los puntos $C,Q,R,S$ están sobre una circunferencia.

2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que $AB=AC=BD$ (los vértices están etiquetados en orden circular). Las rectas $AC$ y $BD$ se cortan en el punto $O$ , las circunferencias $ABC$ y $ADO$ se cortan de nuevo en el punto $P$ , y las rectas $AP$ y $BC$ se cortan en el punto $Q$ . Demuestre que los ángulos $COQ$ y $DOQ$ son iguales.

3 Dado un triángulo $ABC$ , sea $D$ el punto medio del lado $AC$ y sea $M$ el punto que divide al segmento $BD$ en la razón $1/2$ ; es decir, $MB/MD=1/2$ . Las semirrectas $AM$ y $CM$ cortan a los lados $BC$ y $AB$ en los puntos $E$ y $F$ , respectivamente. Suponga que las dos semirrectas son perpendiculares: $AM\perp CM$ . Demuestre que el cuadrilátero $AFED$ es cíclico si y solo si la mediana desde $A$ en el triángulo $ABC$ corta a la recta $EF$ en un punto situado sobre la circunferencia $ABC$ .

1 Demuestre que hay infinitos números enteros positivos $n$ tales que $n^2+1$ tiene dos divisores positivos cuya diferencia es $n$ . Amir

2 Sea $n$ un número entero mayor que $2$ , sean $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ $n$ números reales positivos tales que \[\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_{i}+1}=1\] y sea $k$ un número real mayor que $1$ . Demuestre que: \[\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_{i}^{k}+1}\ge\frac{n}{(n-1)^{k}+1}\] y determine los casos de igualdad.

3 Dado un conjunto $L$ de rectas en posición general en el plano (no hay dos rectas de $L$ paralelas, y no hay tres rectas concurrentes) y otra recta $\ell$ , demuestre que el número total de aristas de todas las caras del correspondiente arreglo, intersecadas por $\ell$ , es a lo sumo $6|L|$ . Chazelle et al., Edelsbrunner et al.

1 Dado un número entero positivo $k$ , defina la función $f$ del conjunto de todos los números enteros positivos en sí mismo mediante \[f(n)=\begin{cases}1, &\text{if }n\le k+1\\ f(f(n-1))+f(n-f(n-1)), &\text{if }n>k+1\end{cases}\] Demuestre que la preimagen de todo número entero positivo bajo $f$ es un conjunto finito no vacío de enteros positivos consecutivos.

2 Dado un número primo $p$ congruente con $1$ módulo $5$ tal que $2p+1$ también es primo, demuestre que existe una matriz de $0$ s y $1$ s que contiene exactamente $4p$ (respectivamente, $4p+2$ ) $1$ s, y ninguna submatriz de la cual contenga exactamente $2p$ (respectivamente, $2p+1$ ) $1$ s.

3 La circunferencia inscrita de un triángulo $ABC$ toca a los lados $BC,CA,AB$ en los puntos $D,E,F$ , respectivamente. Sea $X$ un punto sobre la circunferencia inscrita, distinto de los puntos $D,E,F$ . Las rectas $XD$ y $EF,XE$ y $FD,XF$ y $DE$ se cortan en los puntos $J,K,L$ , respectivamente. Sean además $M,N,P$ puntos sobre los lados $BC,CA,AB$ , respectivamente, tales que las rectas $AM,BN,CP$ son concurrentes. Demuestre que las rectas $JM,KN$ y $LP$ son concurrentes. Dinu Serbanescu

1 Dado un número entero $n \geq 3$ , considere $n$ puntos distintos sobre una circunferencia, etiquetados de $1$ a $n$ . Determine el número máximo de cuerdas cerradas $[ij]$ , $i \neq j$ , que tengan intersecciones no vacías dos a dos. János Pach