1 ¿Qué enteros positivos $n$ hacen verdadera la ecuación \[\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \left\lfloor \frac{ij}{n+1} \right\rfloor=\frac{n^2(n-1)}{4}\] ?

2 Sean $n$ y $k$ dos enteros con $n>k\geqslant 1$ . Hay $2n+1$ estudiantes de pie en un círculo. Cada estudiante $S$ tiene $2k$ vecinos: a saber, los $k$ estudiantes más cercanos a $S$ por la izquierda y los $k$ estudiantes más cercanos a $S$ por la derecha. Suponga que $n+1$ de los estudiantes son niñas y los otros $n$ son niños. Demuestre que hay una niña con al menos $k$ niñas entre sus vecinos. Propuesto por Gurgen Asatryan, Armenia

1 En un 100-gono regular, 41 vértices se colorean de negro y los 59 vértices restantes se colorean de blanco. Demuestre que existen 24 cuadriláteros convexos $Q_{1}, \ldots, Q_{24}$ cuyas esquinas son vértices del 100-gono, de modo que los cuadriláteros $Q_{1}, \ldots, Q_{24}$ son disjuntos dos a dos, y todo cuadrilátero $Q_{i}$ tiene tres esquinas de un color y una esquina del otro color.

2 Para cada primo $p$ , construya un grafo $G_p$ sobre $\{1,2,\ldots p\}$ , donde $m\neq n$ son adyacentes si y solo si $p$ divide a $(m^{2} + 1-n)(n^{2} + 1-m)$ . Demuestre que $G_p$ es disconexo para infinitos $p$

3 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $\angle ABC>90$ , $CDA>90$ y $\angle DAB=\angle BCD$ . Denote por $E$ y $F$ los reflejos de $A$ en las rectas $BC$ y $CD$ , respectivamente. Suponga que los segmentos $AE$ y $AF$ cortan a la recta $BD$ en $K$ y $L$ , respectivamente. Demuestre que las circunferencias circunscritas de los triángulos $BEK$ y $DFL$ son tangentes entre sí. $\emph{Slovakia}$

1 Demuestre: para todo $z \in \mathbb{Z}$ no negativo existe exactamente un par $(m,n)$ de enteros positivos tal que $2z=(m+n)^2-m-3n$ .

2 Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $BC=CA$ , y sea $D$ un punto interior del lado $AB$ tal que $AD< DB$ . Sean $P$ y $Q$ dos puntos interiores de los lados $BC$ y $CA$ , respectivamente, tales que $\angle DPB = \angle DQA = 90^{\circ}$ . Sea la mediatriz de $PQ$ que corta al segmento $CQ$ en $E$ , y las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABC$ y $CPQ$ se cortan de nuevo en el punto $F$ , distinto de $C$ . Suponga que $P$ , $E$ , $F$ son colineales. Demuestre que $\angle ACB = 90^{\circ}$ .

3 Suponga que $a,b,c,d$ son números reales positivos que satisfacen $(a+c)(b+d)=ac+bd$ . Halle el menor valor posible de $$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}.$$ Israel

1 Sean $u_1, u_2, \dots, u_{2019}$ números reales que satisfacen \[u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{2019}=0 \quad \text { and } \quad u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+\cdots+u_{2019}^{2}=1.\] Sea $a=\min \left(u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{2019}\right)$ y $b=\max \left(u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{2019}\right)$ . Demuestre que \[ a b \leqslant-\frac{1}{2019}. \] y-is-the-best-_

2 Sea $ABC$ un triángulo. La circunferencia $\Gamma$ pasa por $A$ , corta de nuevo a los segmentos $AB$ y $AC$ en los puntos $D$ y $E$ respectivamente, e interseca al segmento $BC$ en $F$ y $G$ de modo que $F$ está entre $B$ y $G$ . La tangente a la circunferencia $BDF$ en $F$ y la tangente a la circunferencia $CEG$ en $G$ se cortan en el punto $T$ . Suponga que los puntos $A$ y $T$ son distintos. Demuestre que la recta $AT$ es paralela a $BC$ . (Nigeria)