Sea $\triangle ABC$ un triángulo y sea $M$ el punto medio de $BC$ . Las mediatrices de $AB$ y $AC$ cortan a $BC$ en los puntos $D$ y $E$ , respectivamente. Si $MD = ME$ , demuestre que $\triangle ABC$ es isósceles.

Beni tiene palitos de longitudes $1,2,3,…,n$ para algún número natural $n$ . Quiere formar un triángulo equilátero usando todos los palitos para construir los lados del triángulo. Cada lado debe estar formado por un número distinto de palitos. ¿Cuál es el menor valor de $n$ para el cual esto es posible?

Sean $x$ e $y$ números reales positivos tales que $x^2+y^2+1=3xy$ . Demuestre que $$x+y\ge2$$

Para cada número natural, Ana realiza la siguiente operación: suma todas las cifras en las posiciones impares del número y le resta el doble de la suma de las cifras en las posiciones pares. Las posiciones de las cifras se cuentan desde la derecha: la cifra de las unidades está en la primera posición, la de las decenas en la segunda, y así sucesivamente. Por ejemplo, para el número $1483$ , Ana obtiene $$\underbrace{3+4}_{\text{odd positions}}-\ 2\ \times\underbrace{(8+1)}_{\text{even positions}}=-11.$$ Ana observa que a veces dos números distintos dan el mismo resultado después de esta operación. ¿Cuál es la diferencia mínima entre dos números que dan el mismo resultado?

Una tabla de dimensiones $6 \times 6$ , formada por casillas unitarias, debe cubrirse usando baldosas rectangulares, con los bordes de las baldosas alineados con las líneas de la cuadrícula de la tabla. Baldosas distintas no pueden superponerse y deben tener áreas distintas. ¿Cuál es el máximo número de baldosas que se puede usar? \[ \begin{array}{|c@{\hspace{12pt}}|c@{\hspace{12pt}}|c@{\hspace{12pt}}|c@{\hspace{12pt}}|c@{\hspace{12pt}}|c@{\hspace{12pt}}|} \hline & & & & & \\ \hline & & & & & \\ \hline & & & & & \\ \hline & & & & & \\ \hline & & & & & \\ \hline & & & & & \\ \hline \end{array} \]

Sean $a,b,c,d,e$ números naturales tales que $\gcd(a,b,c,d,e) > 1$ Su producto es par, mientras que su suma es impar. ¿Cuál es el mínimo valor posible de la expresión $a+b+c+d+e$ ? Nota. $\gcd(a,b,c,d,e)$ denota el máximo común divisor de los números $a,b,c,d,e$ .

Sea $ABCD$ un trapecio con bases $AB$ y $CD$ y suponga que $\angle BDC$ es agudo. Las longitudes son $AC = 20$ , $BD = 15$ , y la altura del trapecio es $12$ . Demuestre que las diagonales del trapecio son perpendiculares entre sí.

Sean $a,b$ números reales positivos. Demuestre que \[ \frac{a^2}{4b} + \frac{b^2}{4a} \ge \frac{a^2 + b^2}{(a+1)(b+1)}. \]

Sea $a$ un número real tal que $a^2 - a$ y $a^3 - a$ son enteros. Demuestre que $a$ es un entero.

Ana y Ben juegan el siguiente juego. Ana elige un número real $x$ y le dice a Ben dos números, uno después del otro. Ben sabe que uno de los dos números que Ana le dice es el propio número $x$ , mientras que el otro número es $2x-\frac{1}{x},$ pero no sabe cuál de estos dos números le dice ella primero. Ben gana el juego si puede determinar con total certeza el número $x$ elegido por Ana; en caso contrario, gana Ana. Encuentre todos los valores de $x$ para los cuales Ana gana el juego.