13 Sea $p$ el menor número primo para el cual existe un entero positivo $n$ tal que $n^{4}+1$ es divisible por $p^{2}$ . Halle el menor entero positivo $m$ tal que $m^{4}+1$ es divisible por $p^{2}$ .

14 Sea $ABCD$ un tetraedro tal que $AB = CD = \sqrt{41}$ , $AC = BD = \sqrt{80}$ y $BC = AD = \sqrt{89}$ . Existe un punto $I$ dentro del tetraedro tal que las distancias desde $I$ a cada una de las caras del tetraedro son todas iguales. Esta distancia puede escribirse en la forma $\frac{m \sqrt{n}}{p}$ , donde $m$ , $n$ y $p$ son enteros positivos, $m$ y $p$ son primos relativos, y $n$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halle $m+n+p$ .

15 Sea $\mathcal{B}$ el conjunto de cajas rectangulares que tienen volumen $23$ y área superficial $54$ . Suponga que $r$ es el menor radio posible de una esfera que puede contener cualquier elemento de $\mathcal{B}$ en su interior. Entonces $r^{2}$ puede expresarse como $\tfrac{p}{q}$ , donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos relativos. Halle $p+q$ .

1 Entre los $900$ residentes de Aimeville, hay $195$ que poseen un anillo de diamantes, $367$ que poseen un juego de palos de golf y $562$ que poseen una pala de jardín. Además, cada uno de los $900$ residentes posee una bolsa de corazones de caramelo. Hay $437$ residentes que poseen exactamente dos de estas cosas, y $234$ residentes que poseen exactamente tres de estas cosas. Halle el número de residentes de Aimeville que poseen las cuatro cosas.

2 Una lista de enteros positivos tiene las siguientes propiedades: - La suma de los elementos de la lista es $30$ . - La moda única de la lista es $9$ . - La mediana de la lista es un entero positivo que no aparece en la propia lista. Halle la suma de los cuadrados de todos los elementos de la lista.

3 Halle el número de formas de colocar un dígito en cada celda de una cuadrícula de $2 \times 3$ de modo que la suma de los dos números formados al leer de izquierda a derecha sea $999$ , y la suma de los tres números formados al leer de arriba hacia abajo sea $99$ . La cuadrícula siguiente es un ejemplo de tal disposición porque $8+991 = 999$ y $9+9+81 = 99$ . [asy] unitsize(0.7cm); draw((0,0)--(3,0)); draw((0,1)--(3,1)); draw((0,2)--(3,2)); draw((0,0)--(0,2)); draw((1,0)--(1,2)); draw((2,0)--(2,2)); draw((3,0)--(3,2)); label("$9$", (0.5,0.5)); label("$9$", (1.5,0.5)); label("$1$", (2.5,0.5)); label("$0$", (0.5,1.5)); label("$0$", (1.5,1.5)); label("$8$", (2.5,1.5)); [/asy]

4 Sean $x,y$ y $z$ números reales positivos que satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones: $$\log_2\left({x \over yz}\right) = {1 \over 2}$$ $$\log_2\left({y \over xz}\right) = {1 \over 3}$$ $$\log_2\left({z \over xy}\right) = {1 \over 4}$$ Entonces el valor de $\left|\log_2(x^4y^3z^2)\right|$ es ${m \over n}$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos relativos. Halle $m+n$

5 Sea ABCDEF un hexágono equilátero en el que todos los pares de lados opuestos son paralelos. El triángulo cuyos lados son las prolongaciones de AB, CD y EF tiene lados de longitudes 200, 240 y 300, respectivamente. Halle la longitud del lado del hexágono.

6 Alice elige un conjunto $A$ de enteros positivos. Luego Bob enumera todos los conjuntos finitos no vacíos $B$ de enteros positivos con la propiedad de que el elemento máximo de $B$ pertenece a $A$ . La lista de Bob tiene $2024$ conjuntos. Halle la suma de los elementos de $A$

7 Sea $N$ el mayor entero de cuatro dígitos con la propiedad de que siempre que uno de sus dígitos se cambie a $1$ , el número resultante es divisible por $7$ . Sean $Q$ y $R$ el cociente y el resto, respectivamente, cuando $N$ se divide por $1000$ . Halle $Q+R$ .