5 $a,b,c,d$ son números reales positivos fijos. Halle el valor máximo de la función $f: \mathbb{R^{+}}_{0} \rightarrow \mathbb{R}$ $f(x)=\frac{a+bx}{b+cx}+\frac{b+cx}{c+dx}+\frac{c+dx}{d+ax}+\frac{d+ax}{a+bx}, x \geq 0$

1 Halle todos los enteros positivos $(a, b)$ tales que $\frac{a^2}{2ab^2-b^3+1}$ también sea un entero positivo.

2 Demuestre que no existe ninguna función $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ tal que : $f(f(n-1)=f(n+1)-f(n)$ , para todo número natural $n\geq2$

3 Si $a$ y $b$ son números reales positivos con suma $3$ , y $x, y, z$ números reales positivos con producto $1$ , demuestre que : $(ax+b)(ay+b)(az+b)\geq 27$

4 Para todo $n \in \mathbb{N}_{0}$ , demuestre que $\sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2} \right]}{2}^{n-2k} \binom{n}{2k}=\frac{3^{n}+1}{2}$

5 Dado el triángulo $ABC$ . Sean $P$ , $Q$ , $R$ los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita de $\triangle ABC$ sobre los lados $AB$ , $BC$ , $AC$ , respectivamente. Tomamos la reflexión de estos puntos con respecto a los puntos medios de los lados en los que se encuentran, y los denotamos como $P',Q'$ y $R'$ . Demuestre que $AP'$ , $BQ'$ y $CR'$ son concurrentes.

1 Resuelva en números reales la ecuación $\sqrt{x+\sqrt{4x+\sqrt{16x+\sqrt{…+\sqrt{4^nx+3}}}}}-\sqrt{x}=1$

4 Se da la función $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ para la cual $f(1)=1$ y para todo $x\in\mathbb{R}$ se cumple $f(x+5)\geq f(x)+5$ y $f(x+1)\leq f(x)+1$ . Si $g(x)=f(x)-x+1$ , halle $g(2016)$ .

5 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $|AB|>|AC|$ . Sea $D$ un punto sobre el lado $AB$ tal que $\angle ACD=\angle CBD$ . Sea $E$ el punto medio del segmento $BD$ y sea $S$ el circuncentro del triángulo $BCD$ . Muestre que los puntos $A,E,S$ y $C$ se encuentran sobre una circunferencia .

1 a)Demuestre que para todo número natural n existen números naturales a y b tales que $(1-\sqrt{2})^n=a-b\sqrt{2}$ y $a^2-2b^2=(-1)^n$ b)Usando la primera ecuación, demuestre que para todo n existe m tal que $(\sqrt{2}-1)^n=\sqrt{m}-\sqrt{m-1}$