Cuando un número se divide entre $2$ , el cociente es $x$ y el residuo es $1$ . En cambio, cuando el mismo número se divide entre $3$ , el cociente es $y$ y el residuo es $2$ . ¿Cuál es el residuo cuando $x+y$ se divide entre $5$ ?

Anna quiere formar un número de cuatro cifras con cuatro dígitos distintos a partir de los dígitos $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ . Ella quiere que la primera cifra de ese número sea mayor que la suma de las otras tres cifras. ¿Cuántos números de este tipo puede formar?

Sean $x$ e $y$ números reales donde al menos uno de ellos es mayor que $2$ y se cumple $xy+4 > 2(x+y)$ . Demuestre que $xy>x+y$ .

Sean $m$ y $n$ números naturales tales que $m^3-n^3$ es un número primo. ¿Cuál es el residuo del número $m^3-n^3$ al dividirlo entre $6$ ?

Sea $D$ un punto sobre el lado $AC$ del triángulo $\triangle ABC$ tal que $AB=AD=DC$ , y sea $E$ un punto sobre el lado $BC$ tal que $BE=2CE$ . Demuestre que $\angle BDE = 90 ^{\circ}$ .

En las celdas de una $5 \times 5$ hay algunas lámparas. Si se toca una lámpara, esta se enciende e ilumina todas sus celdas vecinas, incluida su propia celda. Si una celda está iluminada y hay una lámpara en ella, la lámpara también se enciende e ilumina sus celdas vecinas, incluida la suya propia. ¿Cuál es el número mínimo de lámparas necesarias para iluminar todas las celdas con un solo toque? (Nota: Dos celdas son vecinas si tienen un lado o un vértice en común.)

Halle todos los números naturales $n$ tales que $\frac{\sqrt{n}}{2}+\frac{10}{\sqrt{n}}$ es un número natural.

Sobre el lado $AB$ del paralelogramo $ABCD$ tomamos los puntos $X$ y $Y$ tales que los puntos $A$ , $X$ , $Y$ y $B$ aparecen en ese orden. Las rectas $DX$ y $CY$ se intersecan en el punto $Z$ . Suponga que el área del triángulo $\triangle XYZ$ es igual a la suma de las áreas de los triángulos $\triangle AXD$ y $\triangle CYB$ . Demuestre que el área del cuadrilátero $XYCD$ es igual a $3$ veces el área del triángulo $\triangle XYZ$ .

Demuestre que para cualesquiera números reales $a$ y $b$ distintos de $0$ , se cumple la desigualdad $$\bigg \lvert \frac{a}{b} + \frac{b}{a}+ab \bigg \lvert \geq \lvert a+b+1 \rvert$$ . ¿Cuándo se alcanza la igualdad?

Sean $h_a$ , $h_b$ y $h_c$ las alturas de un triángulo $\triangle ABC$ trazadas desde los vértices $A$ , $B$ y $C$ , respectivamente. Análogamente, sean $h_x$ , $h_y$ y $h_z$ las alturas de otro triángulo $\triangle XYZ$ . Demuestre que si $$h_a : h_b : h_c = h_x : h_y : h_z, $$ entonces los triángulos $\triangle ABC$ y $\triangle XYZ$ son semejantes.