2 Considera el sistema de ecuaciones \[ a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3 = 0 \] \[ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3 = 0 \] \[ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3 = 0 \] con incógnitas \(x_1, x_2, x_3\). Los coeficientes satisfacen las condiciones: a) \(a_{11}, a_{22}, a_{33}\) son números positivos; b) los coeficientes restantes son números negativos; c) en cada ecuación, la suma de los coeficientes es positiva. Demuestra que el sistema dado tiene únicamente la solución \(x_1=x_2=x_3=0\).

3 Dado el tetraedro $ABCD$ cuyas aristas $AB$ y $CD$ tienen longitudes $a$ y $b$ respectivamente. La distancia entre las rectas que se cruzan $AB$ y $CD$ es $d$, y el ángulo entre ellas es $\omega$. El tetraedro $ABCD$ se divide en dos sólidos por el plano $\epsilon$, paralelo a las rectas $AB$ y $CD$. La razón de las distancias de $\epsilon$ a $AB$ y $CD$ es igual a $k$. Calcula la razón de los volúmenes de los dos sólidos obtenidos.

4 Encuentra todos los conjuntos de cuatro números reales $x_1, x_2, x_3, x_4$ tales que la suma de cualquiera de ellos y el producto de los otros tres sea igual a 2.

5 Considera $\triangle OAB$ con ángulo agudo $AOB$. Por un punto $M \neq O$ se trazan perpendiculares a $OA$ y $OB$, cuyos pies son $P$ y $Q$, respectivamente. El punto de intersección de las alturas de $\triangle OPQ$ es $H$. ¿Cuál es el lugar geométrico de $H$ si se permite que $M$ recorra a) el lado $AB$; b) el interior de $\triangle OAB$?

6 En un plano se da un conjunto de $n\geq 3$ puntos. Cada par de puntos se conecta mediante un segmento. Sea $d$ la longitud del más largo de estos segmentos. Definimos un diámetro del conjunto como cualquier segmento que conecta dos puntos y tiene longitud $d$. Demuestra que el número de diámetros del conjunto dado es a lo sumo $n$.

2 Supón que \(a,b,c\) son los lados de un triángulo. Demuestra que \[ a^2(b+c-a)+b^2(a+c-b)+c^2(a+b-c) \leq 3abc \]

1 (a) Encuentra todos los enteros positivos $ n$ para los cuales $ 2^n-1$ es divisible por $ 7$ . (b) Demuestra que no existe ningún entero positivo $ n$ para el cual $ 2^n+1$ sea divisible por $ 7$ .

2 Determine todas las ternas $(a,b,c)$ de enteros que satisfacen simultáneamente las siguientes relaciones: \begin{align*} a^2 + a = b + c, \\ b^2 + b = a + c, \\ c^2 + c = a + b. \end{align*}

4 Decimos que un número $n \ge 2$ tiene la propiedad $(P)$ si, en su factorización prima, al menos uno de los factores tiene exponente $3$ . a) Determine el menor número $N$ con la propiedad de que, sin importar cómo elijamos $N$ números naturales consecutivos, al menos uno de ellos tiene la propiedad $(P).$ b) Determine los menores $15$ números consecutivos $a_1, a_2, \ldots, a_{15}$ que no tienen la propiedad $(P),$ tales que la suma de los números $5 a_1, 5 a_2, \ldots, 5 a_{15}$ sea un número con la propiedad $(P).$

2 Decimos que un número natural se denomina especial si todos sus dígitos son no nulos y cualesquiera dos dígitos adyacentes en su representación decimal son consecutivos (no necesariamente en orden ascendente). a) Determine el mayor número especial $m$ cuya suma de dígitos sea igual a $2023$ . b) Determine el menor número especial $n$ cuya suma de dígitos sea igual a $2022$ .