3 Sea $n$ un entero positivo dado. Sisyphus realiza una sucesión de turnos sobre un tablero que consiste en $n + 1$ casillas en fila, numeradas de $0$ a $n$ de izquierda a derecha. Inicialmente, se colocan $n$ piedras en la casilla $0$ , y las demás casillas están vacías. En cada turno, Sisyphus elige cualquier casilla no vacía, digamos con $k$ piedras, toma una de estas piedras y la mueve hacia la derecha a lo sumo $k$ casillas (la piedra debe permanecer dentro del tablero). El objetivo de Sisyphus es mover las $n$ piedras a la casilla $n$ . Demuestre que Sisyphus no puede alcanzar el objetivo en menos de \[ \left \lceil \frac{n}{1} \right \rceil + \left \lceil \frac{n}{2} \right \rceil + \left \lceil \frac{n}{3} \right \rceil + \dots + \left \lceil \frac{n}{n} \right \rceil \] turnos. (Como es usual, $\lceil x \rceil$ denota el menor entero no menor que $x$ . )

1 Determine todos los pares $(n, k)$ de enteros positivos distintos tales que existe un entero positivo $s$ para el cual el número de divisores de $sn$ y de $sk$ son iguales.

2 ¿Existe un subconjunto $M$ de enteros positivos tal que para todo número racional positivo $r<1$ existe exactamente un subconjunto finito de $M$ , digamos $S$ , tal que la suma de los recíprocos de los elementos de $S$ es igual a $r$ ?

3 Se elige un punto $T$ dentro de un triángulo $ABC$ . Sean $A_1$ , $B_1$ y $C_1$ los reflejos de $T$ en $BC$ , $CA$ y $AB$ , respectivamente. Sea $\Omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo $A_1B_1C_1$ . Las rectas $A_1T$ , $B_1T$ y $C_1T$ cortan de nuevo a $\Omega$ en $A_2$ , $B_2$ y $C_2$ , respectivamente. Demuestre que las rectas $AA_2$ , $BB_2$ y $CC_2$ son concurrentes sobre $\Omega$ . Propuesto por Mongolia

1 Un rectángulo $\mathcal{R}$ con longitudes de lado enteras impares se divide en rectángulos pequeños con longitudes de lado enteras. Demuestre que hay al menos uno entre los rectángulos pequeños cuyas distancias a los cuatro lados de $\mathcal{R}$ son todas impares o todas pares. Propuesto por Jeck Lim, Singapore

2 Se dan un entero positivo $d$ y una permutación de enteros positivos $a_1,a_2,a_3,\dots$ tales que para todos los índices $i\geq 10^{100}$ se cumple $|a_{i+1}-a_{i}|\leq 2d$ . Demuestre que existen infinitos índices $j$ tales que $|a_j -j|< d$ .

2 Sea $ABCDE$ un pentágono convexo tal que $AB=BC=CD$ , $\angle{EAB}=\angle{BCD}$ y $\angle{EDC}=\angle{CBA}$ . Demuestre que la recta perpendicular desde $E$ a $BC$ y los segmentos $AC$ y $BD$ son concurrentes.

3 Determine todos los enteros $ n\geq 2$ que tienen la siguiente propiedad: para cualesquiera enteros $a_1,a_2,\ldots, a_n$ cuya suma no es divisible por $n$ , existe un índice $1 \leq i \leq n$ tal que ninguno de los números $$a_i,a_i+a_{i+1},\ldots,a_i+a_{i+1}+\ldots+a_{i+n-1}$$ es divisible por $n$ . Aquí, ponemos $a_i=a_{i-n}$ cuando $i >n$ . Propuesto por Warut Suksompong, Thailand

1 El líder de un equipo de la IMO elige enteros positivos $n$ y $k$ con $n > k$ , y los anuncia al líder adjunto y a un concursante. Luego, el líder dice en secreto al líder adjunto una cadena binaria de $n$ dígitos, y el líder adjunto escribe todas las cadenas binarias de $n$ dígitos que difieren de la del líder en exactamente $k$ posiciones. (Por ejemplo, si $n = 3$ y $k = 1$ , y si el líder elige $101$ , el líder adjunto escribiría $001, 111$ y $100$ . ) El concursante puede mirar las cadenas escritas por el líder adjunto y adivinar la cadena del líder. ¿Cuál es el número mínimo de intentos (en términos de $n$ y $k$ ) necesarios para garantizar la respuesta correcta?

2 En un cuadrilátero convexo $ABCD$ , $BD$ es la bisectriz del ángulo $\angle{ABC}$ . La circunferencia circunscrita de $ABC$ corta a $CD,AD$ en $P,Q$ respectivamente, y la recta que pasa por $D$ paralela a $AC$ corta a $AB,AC$ en $R,S$ respectivamente. Demuestre que los puntos $P,Q,R,S$ están sobre una circunferencia.