Sea $n \geq 3$ un entero fijo. El número $1$ está escrito $n$ veces en un pizarrón. Debajo del pizarrón hay dos cubetas inicialmente vacías. Una jugada consiste en borrar dos de los números $a$ y $b$, reemplazándolos por los números $1$ y $a+b$, y luego agregar una piedra a la primera cubeta y $\gcd(a, b)$ piedras a la segunda cubeta. Después de un número finito de jugadas, hay $s$ piedras en la primera cubeta y $t$ piedras en la segunda cubeta, donde $s$ y $t$ son enteros positivos. Encuentra todos los valores posibles de la razón $\frac{t}{s}$.

1 Sea $\mathbb{Z}^+$ el conjunto de los enteros positivos. Determina todas las funciones $f : \mathbb{Z}^+\to\mathbb{Z}^+$ tales que $a^2+f(a)f(b)$ es divisible por $f(a)+b$ para todos los enteros positivos $a,b$.

2 Sea $m$ un entero positivo fijo. La sucesión infinita $\{a_n\}_{n\geq 1}$ se define de la siguiente manera: $a_1$ es un entero positivo, y para todo entero $n\geq 1$ tenemos $$a_{n+1} = \begin{cases}a_n^2+2^m & \text{si } a_n< 2^m \\ a_n/2 &\text{si } a_n\geq 2^m\end{cases}$$ Para cada $m$, determina todos los valores posibles de $a_1$ tales que todo término de la sucesión sea un entero.

3 Sea $ABC$ un triángulo escaleno con circunferencia circunscrita $\Gamma$. Sea $M$ el punto medio de $BC$. Se selecciona un punto variable $P$ en el segmento $AM$. Las circunferencias circunscritas de los triángulos $BPM$ y $CPM$ intersecan a $\Gamma$ nuevamente en los puntos $D$ y $E$, respectivamente. Las rectas $DP$ y $EP$ intersecan (por segunda vez) a las circunferencias circunscritas de los triángulos $CPM$ y $BPM$ en $X$ y $Y$, respectivamente. Demuestra que, al variar $P$, la circunferencia circunscrita de $\triangle AXY$ pasa por un punto fijo $T$ distinto de $A$.

4 Considera un tablero de $2018 \times 2019$ con enteros en cada casilla unitaria. Se dice que dos casillas unitarias son vecinas si comparten una arista común. En cada turno, eliges algunas casillas unitarias. Luego, para cada casilla elegida se calcula el promedio de todos sus vecinos. Finalmente, después de que estos cálculos se realizan, el número en cada casilla elegida se reemplaza por el promedio correspondiente. ¿Es siempre posible hacer que los números en todas las casillas se vuelvan iguales después de un número finito de turnos?

5 Determina todas las funciones \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) tales que \[ f(x^2 + f(y)) = f(f(x)) + f(y^2) + 2f(xy) \] para todos los números reales \( x \) y \( y \).

A1 Sean $a, b, c$ números reales positivos tales que $abc = \frac {2} {3}. $ Demuestra que: $$\frac {ab}{a + b} + \frac {bc} {b + c} + \frac {ca} {c + a} \geqslant \frac {a+b+c} {a^3+b ^ 3 + c ^ 3}.$$

A2 Sea $q$ un número racional positivo. Dos hormigas están inicialmente en el mismo punto $X$ del plano. En el minuto $n$-ésimo ($n = 1,2,\ldots$) cada una elige si caminar hacia el norte, este, sur u oeste, y luego recorre una distancia de $q^n$ metros. Después de un número entero de minutos, están en el mismo punto del plano (no necesariamente $X$), pero no han tomado exactamente la misma ruta dentro de ese tiempo. Determina todos los valores posibles de $q$. Propuesto por Jeremy King, Reino Unido

A3 Demuestra que para todo entero positivo \(n\) se tiene: $$\sum_{k=0}^{n}\left(\frac{2n+1-k}{k+1}\right)^k=\left(\frac{2n+1}{1}\right)^0+\left(\frac{2n}{2}\right)^1+...+\left(\frac{n+1}{n+1}\right)^n\leq 2^n$$ Propuesto por Dorlir Ahmeti, Albania

A4 Sean $ a, b, c$ números reales positivos tales que $ abc = 1. $ Demuestra que: $$ 2 (a^ 2 + b^ 2 + c^ 2) \left (\frac 1 {a^ 2} + \frac 1{b^ 2}+ \frac 1{c^2}\right)\geq 3(a+ b + c + ab + bc + ca).$$